专题09 动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.（2）若a ：b 的值为21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.BC DA E MF N题型二：二次函数中几何图形最值求解例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.题型四：反比例函数中面积最值的求解例4.（2018·扬州一模）如图1，反比例函数y = k x（x ＞0）的图象经过点A （23，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ．（1）求k 的值；（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+35P A的最小值．例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B （0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD 于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．答案与解析题型一：矩形中的相似求解例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.（2）若a ：b 的值为21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.BMF N【分析】（1）当a ：b =1时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥EF ，可证MN =EF ，即k =1；（2）先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之；（3）根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即N 分别与D 点和C 点重合，依据不同图形求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）当a ：b =1时，即AB =BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，过F 作FG ⊥BC 于G ，过M 作MH ⊥CD 于H ，如下图所示，BDNH∵MN ⊥EF ，∴∠NMH =∠EFG ，∵∠MHN=∠FGE=90°，MH=FG，∴△MNH≌△FEG，∴MN=EF，即k=1；（2）由题意知：b=2a，所以得：a≤EF，2a≤MN,所以当MN取最大值，EF取最小值时，k；当MN取最小值，EF取最大值时，k取最小值，为5；（3）如下图所示，BEM FN连接FN，ME，设PE=x，则EF=MP=3x，PF=2x，MN=3EF=9x，PN=6x，∴PF PN PE PM又∵∠FPN=∠MPE，∴△FPN∽△EPM，∴∠PFN=∠PEM，∴FN∥ME，①当N点与D点重合时，由FN∥ME得，M点与B点重合，BE（M）（N）过F作FH⊥BD于H，∵∠MPE=60°，∴∠PFH =30°，∴PH =x ，FH，BH =BP +PH =4x ，DH =5x ，在Rt △DFH 中，tan ∠FDH， 即a :b=5; ②当N 点与C 点重合时，过B（N ）过点E 作EH ⊥MN 于H，连接EM ，则PH =x ，EH ，CH =PC +PH =13x ，在Rt △ECH 中，tan ∠ECH =13， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB =∠FCB =∠CFD ，∵∠B =∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD FC MB ME==2, 即a:b =2CD BM BC BC ==; 综上所述，a :b . 题型二：二次函数中几何图形最值求解例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由△POE ∽△CBP 得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，由S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0），10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，抛物线函数关系表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）由题意知：AB ＝OA +OB ＝4，在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，PC ⊥BE ，∴∠OPE +∠CPB ＝90°，∠CPB +∠PCB ＝90°，∴∠OPE ＝∠PCB ，又∵∠EOP ＝∠PBC ＝90°，∴△POE ∽△CBP ， ∴BC OP BP OE=， 设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ，∴43x x OE =-， ∴OE ＝()221139344216x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭， 当32x =时，即OP =32时线段OE 长有最大值，最大值为916． （3）存在．如图，过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，∴N 点坐标为（0，﹣3），设直线BN 的解析式为y ＝kx +b ，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，∴直线BN 的解析式为y ＝x ﹣3，设M （m ，m 2﹣2m ﹣3），则H （m ，m ﹣3），∴MH ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m ，∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝()221132732228m m m ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴a ＝32时，△MBN 的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为（31524-，）． 题型三：二次函数中面积最值的求解例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得：20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩解得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：y =x +1，如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（-1＜m ＜2）∴MN =－m 2+m +2，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1()2B A x x MN - ∴S △ABM =2213127(2)3()2228m m m -++⨯=--+， ∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时17(,)22M（3）存在，点15(1,)4F 理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41， 设(1,)F n 、2(,23)P x x x -++，设P 到直线417=y 的距离为PG . 则PG =22175(23)244x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ， ∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .此时PG =41，即顶点D 到直线417=y 的距离为14，∴PF =DF =41，∴)415,1(F ，∵PG =PF ， ∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(23)(1)(2)44PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225(2)4PG x x =-+∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225(2)4x x =-+整理化简可得0x =0， ∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 题型四：反比例函数中面积最值的求解例4.（2018·扬州一模） 如图1，反比例函数y = kx （x ＞0）的图象经过点A （23，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ． （1）求k 的值；（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵将A（23，1）代入反比例函数y＝kx，∴k＝23；（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝23，∵点B（1，a）在反比例函数y＝23的图象上，∴a＝23，∴点B（1，23）过B作BE⊥AD于E，如下图所示，则AE＝BE＝3﹣1．∴∠ABE＝∠BAE＝45°又∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝30°∴DC＝tan30°·AD 3232，∴OC＝1，即C（0，﹣1）设直线AC的解析式为y＝kx+b∴2311k bb⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得331kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AC的解析式为y＝33x﹣1（3）设M（m，23m），N（m，33m﹣1）则MN＝23m－（33m﹣1）＝23m﹣33m+1，∴S△CMN＝12（23m﹣33m+1）m＝﹣m2+m+＝﹣3（m﹣3）2+93当m＝3时，△CMN的面积有最大值，最大值为93.题型五：反比例函数中面积最值的求解例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，01093b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x ＝﹣1， 设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，H （﹣1，0）， 在Rt △CHO 中，CH ＝4，OH ＝1， ∴tan ∠COH ＝CHOH＝4， ∵∠COH ＝∠CAO +∠ACO ， ∴当∠ACO ＝∠CDO 时，tan （∠CAO +∠CDO ）＝tan ∠COH ＝4， 如下图所示，当点D 在对称轴左侧时，∵∠ACO ＝∠CDO ，∠CAO ＝∠CAO ， ∴△AOC ∽△ACD ， ∴AC AOAD AC=， ∵AC ＝25AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线P A 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，223ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3），如下图所示，∵m=S△BPM＝S△BP A﹣S四边形BMNO﹣S△AON，n=S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，∴m－n＝S△BP A﹣S△EBO﹣S△AON＝12×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣12×3×3﹣12×1×（a+3）＝﹣2（a+98）2+8132，∴当a＝﹣98时，m－n有最大值8132.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+35P A的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，∵OA=1，∴点A 的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a -2=0， 得：a =12，∴抛物线的解析式为()21122y x =--，即21322y x x =--． 令y =0，解得x 1=-1，x 2=3， ∴B （3，0）， ∴AB =OA +OB =4， ∵△ABD 的面积为5， ∴S △ABD =12AB ·y D =5 ∴y D =52，2513222x x =--，解得x 1=-2，x 2=4， ∴D （4，52），设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∴5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AD 的解析式为：y =12x +12.（2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如下图所示， 设E （a ，12a 2－a －32），M （a ，12a +12），∴ME =－12a 2+32a +2，∴S △ACE =S △AME －S △CME =－14（a 2－3a －4）=－14（a －32）2+2516，∴当a=32时，△ACE的面积有最大值，最大值是2516，此时E点坐标为（32，158-）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，∴AG=52，EG=158，∴43 AGEG=,∵∠AGE=∠AHP=90°∴sin∠EAG=35 PH EGAP AE==，∴PH=35 AP，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，∴PE+35AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=154，∠AEG=∠HEF，∴sin∠AEG=sin∠HEF=45 AG FHAE AE==∴FH=3．即PE+35PA的最小值是3．例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B （0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD 于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝5求点P的坐标．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵AC 为△ABO 的中线，点B （0，4）， ∴点C （0，2）， ∵点A （4，0）， 点M 为线段AC 的中点， 即M （2，1）；（2）∵⊙P 与直线AD ，则∠CAD ＝90°， 设∠CAO ＝α，则∠CAO ＝∠ODA ＝∠PEH ＝α，tan ∠CAO ＝12OC OA =＝tan α，则sin α5cos α25， AC 10CD ＝sin ACα＝10，则D （0，﹣8），设直线AD 的解析式为：y ＝mx +n ： 得：840b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：k =2，b =－8，直线AD 的表达式为：y ＝2x ﹣8；（3）抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）2+1， 将点B 坐标代入上式并解得：a ＝34， 故抛物线的表达式为：y ＝34x 2﹣3x +4， 过点P 作PH ⊥EF ，则EH ＝12EF ＝5cos∠PEH＝25cosEHPEα=得：PE＝5，设点P（x，34x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝34x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝143或2（舍），则点P（143，193）．。