极化恒等式例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则b a •等于 （ ）A.1B. 2C. 3D. 5解：由极化恒等式，即得.14610422=-=--+=•ba b a b a例2:（2014江苏）在平行四边形ABCD 中，已知,2,3,5,8=•===BP AP PD CP AD AB 则AD AB •的值是 .解:222=-=•AE PE PB PA 182=∴PE 8,3==CD PD CP 中位线为故FAE DP AE PD ,4,2==∴40222222=-+=∴PEAE AF AP 2222=-=•=•∴PE AP AD AB AE AF例3：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则)(PC PB PA ••的取值范围是 解：如图，设BC 的中点为D ，则PD PC PB 2=+,设AD 的中点为M ，则)41(2)(22AD PM PC PB PA -=+•,显然，当P 在B 点时，PM 的值最大，此时2)(=+•PC PB PA ；当ABPM ⊥时，PM 的值最小，此时89)(-=+•PC PB PA .所以)(PC PB PA +•的取值范围是]2,89[-.例4：正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM •的最大值为秒杀秘籍：极化恒等式：()()[].4122b a b a b a --+=•在ABC ∆中，若AM 是ABC ∆的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.21,21AB AC BM AB AC AM定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC ∆的中线，则().22222BM AM AC AB +=+定理 2 （极化恒等式的三角形模式）在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则有.412222BM AM BC AM AC AB -=-=•解：设球心为O ，球半径为R ，则R=2,根据极化恒等式：4444222-=-=•PO R PO PN PM 又因为P 为正方形表面上的动点，所以PO 的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PN PM •的最大值为2例5：.△ABC 中，∠C=︒90,AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且EF=1，则DF DE •的最小值等 解：41422--=•EF DH DF DE （H 为EF 的中点）。

又因为22125,=-=-≥≥+CH CD DH CD DH CH 所以所以415414412=-≥-=•DH DF DE 。

一、求数量积的值1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 的两个三等分点，1,4-=•=•CF BF CA BA ，则=•CE BE .则=•AC AB . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，,10,3==BC AM 则=•AD AB .3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，,1,3==BD AB ,4,3==AD AB P 为矩形ABCD4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，所在平面上一点，满足,21,2==PC PA 则=•PD PB .二、界定数量积的取值范围5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC Rt ∆中，N M CB CA ,,3==是斜边AB 上的两个动点，且,2=MN 则CN CM •的取值范围为 （ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4三、探求数量积的最值6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则()PC PB PA +•的最小值是 （ ） A. 2- B. 23-C. 34- D. 1- 7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．38.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量,2,1,,==b a b a 若对任意单位向量e ，均有,6≤•+•e b e a 则b a •的最大值是 . 四、处理长度问题9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()(),0=-•-c b c a 则c 的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D.22 10.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，.,12121AB AB AP AB AB +===⊥21<,（ ） A. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,0 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛27,25 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,25 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,27 11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量b a ,满足：,2,1==b a 则b a b a -++的最小值是 ，最大值是 .12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD 中，E BAD AD ,60,1︒=∠=为CD 的中点.若1=•BE AC ，则=AB . 13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 折成平面角大小为︒60的二面角，则边BC 的中点与点A 的距离为 .14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，21,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，则=+•221PO PF PF .五、解决综合性问题15. （2012年高考江西卷理科第7题）在ABC Rt ∆中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PC PB PA +等于 （ ）A. 2B. 4C. 5D. 1016. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•，则 （ ）A. ︒=∠90ABCB. ︒=∠90BACC.AC AB =D. BC AC =17. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB 与抛物线x y =2交于点B A ,，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若点0C 满足{}CB CA B C A C •=•min 00，则下列一定成立的是（其中l 是抛物线过点0C 的切线） （ ）A. AB M C ⊥0B. l M C ⊥0C. B C M C 00⊥D. AB M C 210=18. （2014年高考浙江卷理科第8题）记{}{}⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=,,,,,min ,,,,,max y x x y x y y x y x y y x x y x 设b a ,为平面向量，则 （ ）A. {}{}b a b a b a ,min ,min ≤-+B. {}{}b a b a b a ,min ,min ≥-+C. {}2222,max baba b a +≤-+D. {}2222,max b aba b a +≥-+ABCD 中，19. （浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图5，在等腰梯形5,4,2===BC CD AB ,点F E ,分别为BC AD ,的中点.如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得λ=•PF PE 成立，那么λ的取值范围是（ ）A. ⎪⎭⎫⎝⎛--209,45 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-411,209 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--41,209 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-411,45 20. （2005年高考湖北卷理科第18题）在ABC ∆中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线5=BD ，求A sin 的值.1. 87； 131,42222-=-=⋅=-=⋅BD AD CF BF BD AD CA BA ;解得：,813,84522==BD AD故873222=-=⋅BD AD CE BE .2.-16； 1625922-=-=-=⋅BM AM AC AB .3.215；法一：215323132312=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅AB AC AB AB AC AB AD AB .4.0； 定理：在矩形ABCD 中，P 为矩形平面内任意一点，设AC 与BD 交点为O,一定有22AO PO PD PB PC PA -=⋅=⋅；故此题由于222AC PC PA =+,0=⋅=⋅PD PB PC PA .5. D ；取MN 中点P ，21222-=-=⋅CP MP CP CN CM ，故当P 位于AB 中点时，CP 取得最小值223，当M 位于A （B ）点时，CP 取得最大值，根据余弦定理，︒⋅=-+45cos 2222AP CA CP AP CA ，2132=CP ，选D 。

6. B ；取AB 中点E ，AC 中点F ，连接EF ，()222222AB PF AB PE PC PA PB PA PC PB PA -+-=⋅+⋅=+⋅ 22-≥PF PE ，当PF PE =时等号成立，当P 位于EF 中点时，21212122=⨯⨯=PF PE 取得最小，答案为23-。

7. A ；取AB 中点F ，连接EF ，41222-=-=⋅EF AF EF BE AE ，根据几何条件，当CD EF ⊥时，EF 最小，过B 作CD BG ⊥交CD 于G ，3,60=︒=∠BC C ，2360cos =︒=BC BG ，此时452=+=BG AD EF ，选A 。

8.；设=，=，=，则=+，=﹣，由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．9. C；()()()()()()()()b a c b a b a c b a c b c a c b c a c b c a -=-+⇒=---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--2042222222，由于2=-=+b a b a ，而c 2与b a +反向时，取得最大值，此时2=c 。