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高二上学期数学期末考试卷含答案

【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的.1.命题〝假设2x =,那么2320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠B 、假设2320x x -+=,那么2x =C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠D 、假设2x ≠,那么2320x x -+=2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 )A 、6B 、9C 、12D 、无法确定4.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x5.圆心在抛物线xy 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是〔 〕 A 、01222=+--+y x y x B 、041222=---+y x y x C 、01222=+-++y x y xD 、041222=+--+y x y x6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕A 、B 、C 、D 、7.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=,双曲线的一个焦点在直线l 上,那么双曲线方程为〔 〕A 、221205x y -=B 、221520x y -=C 、2233125100x y -=D 、2233110025x y -=8.变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ,那么yx 的最小值是〔 〕A 、1B 、4C 、23 D 、09.a, b, c 均为直线,α, β为平面,下面关于直线与平面关系的命题:〔1〕任意给定一条直线a 与一个平面α,那么平面α内必存在无数条与a 垂直的直线;〔2〕任意给定的三条直线a, b, c ,必存在与a, b, c 都相交的直线; 〔3〕α//β,βα⊂⊂b a , ,必存在与a, b 都垂直的直线;〔4〕βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ,假设a 不垂直c ,那么a 不垂直B 、 其中真命题的个数为〔 〕 A 、 1B 、2C 、3D 、410.抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()22221x y a b a b -=>0,>0的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F ,那么该双曲线的离心率为〔 〕 A 2 B 、2 C 2+1 D 2-1PABCDE11.抛物线方程为x y 82=,直线l 的方程为02=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ,P 到l 的距离为2d ,那么21d d +的最小值为〔 〕 A 、232- B 、222- C 、22 D 、222+ 12.双曲线13422=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,O为坐标原点,P 为双曲线右支上一点,21PF F ∆的内切圆的圆心为Q ,过2F 作PQ 的垂线,垂足为B ,那么OB 的长度为〔 〕A 、7B 、4C .3D 、2【二】填空题:本大题共4小题,每题5分,总分值20分.13.双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为14.2019某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和y须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-6252x y x y x ,那么该校招聘的教师最多是 名.15.如图,⊥PA 平面ABC ,AB AC ⊥,BC AP =,︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点.那么异面直线AC 与DE 所成角的正切值为 . 16.一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如图,圆锥底面面积是这个球面面积的316,那么较大圆锥与较小圆锥的体积之比为___________【三】解答题:本大题共5小题,共70分.解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤.17.(总分值12分) 在平面直角坐标系xoy 中,点P 到两点M ()0,3-、N ()0,3的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C 、 (1) 写出轨迹C 的方程;(2) 设直线y=12x+1 与C 交于A 、B 两点, 求|AB|的长。

18.(总分值 14分) 如下图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,又//AD BC ,AD DC ⊥,且33PD BC AD ===.〔1〕在网格中画出四棱准P ABCD -的正视图; 〔2〕求证:平面PAD ⊥平面PCD ;〔3〕在棱PB 上是否存在一点E ,使得//AE 平 面PCD ,假设存在,求PEEB 的值. 假设不存在,请说明理由19.(总分值 14分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,点()03A ,,直线24l y x =-:.设圆的半径为1,圆心在l 上.(1) 假设圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2) 假设圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.20.(总分值14分) 椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的焦点是(3,0)、3,0),且椭圆经过点2(2,。

(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ,求证:直PC BAD线l 恒过定点.21.(总分值16分) 椭圆C :22221(0)y x a b a b +=>>,其四个顶点组成的菱形的面积是O 为坐标原点,假设点A 在直线2=x 上,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥.〔1〕 求椭圆C 的方程; 〔2〕求线段AB 长度的最小值; 〔3〕试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.答案及说明选择题:CACDD AACBC BD填空题:13.3π;14.13;15.7;16.3:1解答题:17.(总分值12分)解:〔1〕设P 〔x ,y 〕 ∵MN PN PM =>=+324由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点,长半轴为2的椭圆. ……2分它的短半轴1,b ==故曲线C的方程为2214y x +=. (4)分〔2〕设1122()()A x y B x y ,,,,其坐标满足22141⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y x y kx ……………………5分消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=,故1212222344k x x x x k k +=-=-++,. (7)分当12k =±时,12417x x +=,121217x x =-.……………………8分2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-,…………………9分而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=,………………10分所以46517AB =.……………………………………………………………12分18.〔总分值14分〕〔1〕解:四棱准P ABCD -的正视图如下图.………………2分〔2〕证明:因为 PD ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD , 所以 PD AD ⊥. ………………6分 因为 AD DC ⊥,PD CD D =,PD ⊂平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ,所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分〔3〕分别延长,CD BA 交于点O ,连接PO ,在棱PB 上取一点E ,使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ,3BC AD =,所以 13OA AD OB BC ==,即12OA AB =.所以 OA PEAB EB =. 所以//AE OP . ………………12分因为OP ⊂平面PCD ,AE ⊄平面PCD , 所以 //AE 平面PCD . ………………14分19.〔总分值14分〕解:〔1〕联立:⎩⎨⎧-=-=421x y x y ,得圆心为:C(3,2).……1分[来源:学科网ZXXK]设切线为:3+=kx y ,d =11|233|2==+-+r k k ,得:430-==k k 或.故所求切线为:343+-==x y y 或. ……6分〔2〕设点M(x ,y),由MO MA 2=,知:22222)3(y x y x +=-+,……8分 化简得:4)1(22=++y x , ……10分 即:点M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D 、又因为点M 在圆C 上,故圆C 圆D 的关系为相交或相切. ……11分 故:1≤|CD|≤3,其中22)32(-+=a a CD . ……12分解之得:0≤a ≤125 . ……14分20.〔总分值14分〕解:〔1〕椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>∴ 223a b -=,24a ==所以所求椭圆C 的方程为2214x y += (4)分〔2〕方法一〔1〕由题意可知,直线l 的斜率为0时,不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为x ky m =+.由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分设11(,)A x y ,22(,)B x y ,那么有12224kmy y k +=-+……①,212244m y y k -=+………② ………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ,所以0MA MB ⋅=. 由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-,得1212(2)(2)0x x y y --+=. 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式, 得221212(1)(2)()(2)0ky y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③,得 225161204m m k -+=+,解得65m =或2m =〔舍〕.综上,直线l 经过定点6(,0).5 (14)分方法二证明:(1) 当k 不存在时,易得此直线恒过点6(,0)5.…………7分〔2〕当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为,1122(,),(,)A x y B x y ,(2,0)M .由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ∆=-+>1228,41kmx x k -+=+ ……①21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分 整理得221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知22121650,k km m ++=解得62,.5m k m k =-=- 〔i 〕 当2,(2)m k y k x =-=-即时,直线过定点〔2,0〕不符合题意,舍掉.……12分〔ii 〕 65m k =-时,即6()5y k x =-,直线过定点6(,0)5,经检验符合题意. 综上所述,直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分21.〔总分值16分〕21、解:〔1〕由题意22242c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩,解得224,2a b ==. 故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………4分〔2〕设点A ,B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ,其中00≠y ,因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=,即0020+=x ty , ……………5分 解得02=-x t y ,又220024+=x y ,所以22200||(2)()=-+-AB x y t =2200002(2)()-++x x y y =2220002044+++x x y y =2220002042(4)42--+++y y y y =22002084(04)2++<≤y y y ,……………8分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ,当且仅当204=y 时等号成立,所以2||8AB ≥, 故线段AB 长度的最小值为22 ……………9分〔3〕直线AB 与圆222x y +=相切. ……………10分 证明如下:设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ,(2,)t ,其中00y ≠. 因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=,即0020x ty +=,解得02x t y =-. ……………11分直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--,即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=, ……………12分圆心O 到直线AB的距离d =……………13分由220024y x +=,02x t y =-,故d === ,所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………16分。

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