数学建模
基于Matlab 的车灯线光源优化设计的实施方案3欧宜贵　李志林　(海南大学信息学院应用数学系　海口　570228)摘要　给出了2002年全国大不生数学建模竞赛题“车灯线光源的优化设计”的实施方案,说明计算机仿真方法在数学建模中的有效性.
关键词　数学建模;计算机仿真;优化设计;Matlab6.0 中图法分类号　O242;TP311
2002年全国大学生数学建模竞赛题“车灯线光源的优化设计”是一道从实际问题提炼简化而来的数学问题.由于理论上的困难,很难得到满足设计要求的最优长度的线光源[1].本文借助科学运算语言Matlab610,[2]采用计算机仿真技术,求得满足设计要求的近似最优线光源的长度,体现了数学建模中计算机仿真方法的重要性.
1　问题重述
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米,深度21.6毫米.经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源.要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度.该设计规范在简化后可描述如下:
在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏,屏与FA 垂直,用以测试车灯的反射光.在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A 点的同侧取B 点和C 点,使A C =2AB =2.6米.要求C 点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B 点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射).在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小.
21问题分析
由于线光源是均匀分布的,要使线光源功率最小,其长度也应该较小.但若线光源的长度太小,有可能出现C 点的光强度小于额定值;若线光源的长度过大,虽然能同时满足B 、C 两点光强度的要求,但线光源的功率也增大了.我们的目的就是在B 、C 两点光强度满足题目要求的情况下,求出最优的线光源长度,又由于到达屏上某一点的光线数目与该点的光强度成正比,因此,可以将题中条件转化为:到达C 点的光线数目不小于某一额定值,到达B 点的光线数目不小于该额定值的两倍.
另一方面,在抛物线上任取一点,并利用光路的可逆性,分别求出能够到达B 点和C 点的入射光线方程.若入射光线与线光源所在直线的交点的纵坐标的绝对值不大于线光源长度的一半,即与线光源有交点,则表示该光线经反射后能够到达屏上的B 点或C 点.这可通过计算机仿真来实现.
3、模型的基本假设
(1)线光源看成是无数个点光源叠加而成;
(2)不考虑光在抛物面上的折射,并且光在传播过程中,其强度不受空气的影响;
(3)不考虑车灯前配置镜面对反射光方向的影响.
4、模型的建立及求解
以抛物面的顶点为原点O ,对称轴为x 轴,过点O 且与线光源平行的直线为y 轴,过顶点且与x 轴、y 轴垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系.由题中所给数据可求得旋转抛物面的方程是:60x =y 2+z 2.根据光路的几何原理和空间解析几何的知识,易推出结论:
线光源发出的光线经抛物面反射后若能到达B 、C 两点,则反射点应在抛物线60x =y 2上.如
701Vol.9,No.4J ul.,2006 高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS 3收稿日期:2004-10-01
图1所示1由题意可知B (25015,1300),C (25015,2600),F (15,0)1其中F 是焦点
.
图1　线光源发出的光线经抛物面反射后到达测试屏
i )能够到达B 点的入射光线方程的求法
k 1在抛物线上任取一点P (
y 2060,y 0),则直线B P 的斜率为k B P =1300-y 025015-y 02/60
.显然,由导数的几何意义知:过P 点法线P N 的斜率是k PN =-
y 030.又根据光路的几何原理(入射角等于反射角)有k B P -k PN 1+k B P k PN =k PN -k 1+k PN k
.于是将k B P 和k PN 代入即得k =6000(-11700-15000y 0+13y 02)1350810000-4680000y 0-1498200y 02+y 04
.从而就得到过P 点的入射光线的方程为
y =y 0+6000(-11700-15000y 0+13y 20)1350810000-4680000y 0-1498200y 02+y 04
(x -y 0260).ii )能够到达C 点的入射光线方程的求法
同i ),易求得能够到达C 点且过P 点的入射光线方程为
y =y 0+12000(-11700-7500y 0+13y 02)1350810000-9360000y 0-1498200y 02+y 04
(x -y 2060).iii )计算机仿真
尽管线光源与起反射作用的抛物线是连续型的,但为了使到达B 、C 两点的光线粒子化,我们不妨将它们看作是间隔足够小(比如0.01mm )的离散型点列.这是一种离散化的处理方法,其目的是为了计算机仿真.下面使用Matlab 语言来编程,这需建立一个M 2文件:
function y =simulation (dy0,dl ,M )
l =0;flag =0; %flag 用于标识B ,C 两点的光强度是否满足题设条件;l 为线光源长度的一半
while (flag ==0) %光强度条件不满足则继续循环
y0=36;dotc =0;dotb =0; %dotc 和dotb 分别为能够到达B ,C 两点的光线数目
while (y0>=-36) %在整个抛物线上(y0=-36～36),寻找能够到达B 点和C 点的反射点
fc =1350810000-93600003y0-14982003y03y0+y0^4;
yfc =y0+120003(15-y03y0/60)3(-11700-75003y0+133y03y0)/fc ;
%yfc 为反射后能够到达C 点的入射光线与直线x =15的交点的纵坐标
if (abs (yfc )<=1) %若|yfc |<=1,就表示找到一个能到达C 点的反射点
dotc =dotc +1;
end
801高等数学研究 2006年7月
fb =1350810000-46800003y0-14982003y03y0+y0^4;
yf b =y0+60003(15-y03y0/60)3(-11700-150003y0+133y03y0)/f b ;
%yf b 为反射后能够到达B 点的光线与直线x =15的交点的纵坐标
if (abs (yf b )<=1) %若|yf b |<=1,就表示找到一个能到达B 点的反射点
dotb =dotb +1;
end
y0=y0-dy0;　%dy0表示步长
end
if (dot >=M )&(dotb >=23M )　%判断光线的数目是否满足题设条件
flag =1;
end
l =l +dl ; %dl 表示点光源间的间隔
end
l ;dotc ;dotb ;经反复实验比较,可以找到满足设计要求的最优线光源长度约为L =2l =2×1.97=3.94mm (对应于dy0=0.01mm ,dl =0.01mm ,M =1670).此时,光线到达B 、C 两点的光强度之比2:1,完全符合题设条件.
参考文献
[1]谭永基.车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟[J ].工程数学学报,2003,20(5):65～70.
[2]王沫然.Matlab6.0与科学计算[M ].北京:电子工业出版社,2001.
简　讯全国教育数学学会理事会暨学术年会召开
(本刊编辑部报道)中国高等教育学会教育数学专业委员会(简称全国教育数学学会)第一届三次理事会暨2006年学术年会,于5月13日至14日在西安召开,会议由陕西教育学院组织承办.学会理事长、广州大学教授张景中院士、中科院数学与系统科学研究院研究员林群院士,以及来自全国二十多个省市五十多个单位约百名代表参加了会议.
会议开幕式后,张景中院士作了题为《超级画板自由行》的报告,介绍并展示了由他主持开发的“超级画板”软件,它具有功能多、资源丰富、学得快、易上手的特点,而且人性化、动态化,使用方便.以往人们使用“几何画板”等软件,人要听从计算机的指令,而“超级画板”的设计思想是计算机听从人的安排,能“察言观色”,真正实现了动态几何的智能化.林群院士为大会作了《微积分新版》的报告,提供了微积分教学的一种新思维,采用全可微定义导数,拉近了条件和结论之间的距离,使复杂的证明变得简单,为微积分教学改革提供了一种非常好的思路.此外,清华大学韩云瑞教授就《教育数学对大学数学教育的启示》、西北大学曲安京教授就《数学的理由》、陕西师范大学杜鸿科教授就《教育数学和数学基础教育课程改革》等,分别作了大会报告.大会收到论文40多篇,与会代表分为高师院校组、理工科院校组和中小学组三个组进行了报告交流,经组织有关专家评选出了21篇优秀论文,其中一等奖7篇.会上,代表们还就成立学会的专业小组、创办期刊、编写教材以及教育数学的研究内容和方法等问题,进行了热烈讨论.北京大学数学学院徐庆和老师还在会上作了“教育数学网工作报告.”
常务理事会选举产生了新增补的常务理事、理事和副秘书长,通过批准了新会员.为了便于学会开展工作,常务理事会讨论决定,成立高师数学组、理工科数学组、中小学数学组和教育技术组等四个专业小组,分别由吴康、刘太顺、张雄和张志青任组长.常务理事会还讨论了有关学会网站建设、出版论文或丛书等事项.
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01第9卷第4期 欧宜贵,李志林:基于Matlab 的车灯线光源优化设计的实施方案
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