10超几何分布与二项分布•选择题（共9小题）则p （!< i 今）的值为（则 P ( 1^X €013)等于(A .—〔丄)20126. （2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱 100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P 1和P 2.则（ ）A . P 1=P 2B . P 1V P 2C . P 1> P 2D .以上三种情况都有可能1. （2004?辽宁）已知随机变量E 的概率分布如下，则P （ e =io ）=（E123 456789P2 2 |22 222_2_1¥3334 3533s2B .2C . 131039mD.-3102. （2011?黄冈模拟）随机变量2、3、4、 …），其中a 是常数,r=2 +1，贝y n 的期望值是（-1L P1 2161 329 3&4.设随机变量X 的概率分布为 (k=1 , 2, 3, 4, 5),则P 绪g)A .亠 Io5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为上，次品率为「现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品,E 的概率分布规律为(n=1、 A . 1B.3. （2008?石景山区一模）已知随机变量E 的分布列为且设A ■ JB • _C • _D •；[16 24^ 243 2458 （2012?衡阳模拟）已知随机变量严N （0, a2）,且p （4 1）=p （M a-3）的值为（）A . 2B . - 2 C. 0 D . 19. 设随机变量匕N （0, 1），若P （E翱=p,则P （- 1 v M 0）=（）A . 1- P B. P C. D •丄—p二•填空题（共5小题）10. ________________________________________________________________________________________________ （2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 _____________________________________ . 11•有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为___________________________________ .12. ____________________________________________________________________________________ （2010?枣庄模拟）设随机变量X〜B （n，0.5），且DX=2，则事件X=1 ”的概率为_______________________________________________ （作数字作答.）13. 若随机变量X服从二项分布，且X〜B （10，0.8 ），贝U EX、DX分别是___________________________，____________ .14. （2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为丄，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生3得到面试的公司个数.若P （X=0 ）=—，则随机变量X的数学期望E （X）= .12 --------------------------------------------------------三.解答题（共3小题）15. （2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n （ 2《韦，且n希）个，其余的球为红球.（I ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（H ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；|15|（川）在（n）的条件下，从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用E表示取出的2个球所得分数的和，写出E的分布列，并求E的数学期望E E16 •某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2 •若从该批产品中任意抽取3件，(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望.17. (2006?崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战•假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为令现规定: 点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：(I)乙队以4: 3点球取胜的概率有多大？(II)设点球中乙队得分为随机变量三求乙队在五个点球中得分E的概率分布和数学期望.4•选择题（共9小题）考点： 离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式. 专题： 计算题.参考答案与试题解析1. （2004?辽宁）已知随机变量E 的概率分布如下，则P （ e =io ）=（ 2222 2 22 323335 3s3s3s10 mB.-310C .-39D.- 310考点：离散型随机变量及其分布列. 专题：计算题.分析：分析：由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出公比是丄的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案.3解答：解：•••由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，9个变量对应的概率组成一个首项是|•••根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是三公比是亍的等比数列,点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质, 的和，是一个综合题.在一个试验中所有的变量的概率之和是1,本题又考查等比数列2.（2011?黄冈模拟）随机变量E 的概率分布规律为 则的值为（) AB .193P 1 E =□' )=a11（n=1、2、3、4、…），其中a 是常数,C .D . 232368957•/ S+m=1 ,故选C .分析：估计所给的随机变量的分布列的特点，利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和，使它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式写出结果.解答：解：•••随机变量E的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），4••• P X 号)=P ( =) +P ( =2)故选C .点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是一个综合题目，在解题时一定要注意所有的变量的概率之和 的求法，注意应用分布列的性质.263A . 12 31-23a la=,=1,=-「2•■-= '23 29 gr=2 +1，贝y n 的期望值是(C.::考点： 分析： 离散型随机变量及其分布列.由题目中所给的变量的分布列得到变量 求出结果.E 的期望, 根据r=2+1关系，得到两个变量的关系， 代入E 的期望,解答:解：由表格得到 E E =-3 E n =E (2 E 1) =2E + 1=2 X(-g) +仁三 点评:6 23,故选C .本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系 写出n 的分布列，再由分布列求出期望.设随机变量X 的概率分布为P (X=k )m(k=1, 2, 3, 4, 5),则p 魯吨)"k Ck+1)3B . 2 C. 1D . 5[To56考点： 专题： 分析：离散型随机变量及其分布列. 概率与统计. 由题意可得 P(X=1 ) +P (X=2 )+P(X=3 )+P(X=4 )+P(X=5 )=1,求出 m 的值，再根据 P (-<X<丄)=P 解答:(X=2 ) +P (X=3 ),进而求出答案. 解：因为所有事件发生的概率之和为 即P所以1,(X=1 ) +P (X=2 ) +P (X=3 ) +P ( X=4 ) +P (X=5 ) =1 ,)=1，即 m (1 —厂)=16所以 m=4.A .=( )所以 P (X=k ) =|( k=1 , 2, 3, 4, 5),5k (k+1) 则 P 〔丄丈妄；上)=P (X=2 ) +P (X=3 ) = § + § =2 .2 25X2X3 5X3X4 10故选A .点评：解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1，进而求出随机变量的分布列即可得到答案.，次品率为一，现对该批电子手表进行测试，设第 X 次首次测到正品,412013••• P (1 議 <2013) =1 - P (X=0 ) =1 -(―)4故选B .本题考查n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题.6. (2010?江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为P 1和P 2.则( )A . P 1=P 2B . P 1V P 2C . P 1> P 2D .以上三种情况都有可能考点： 二项分布与n 次独立重复试验的模型；等可能事件的概率. 专题： 计算题；压轴题.分析： 每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件发现至少一枚劣币”的对立事件是没有劣币”概率好求.方法一概率为1 - 0.9910；方法二概率为1-(坐)5,做差比较大小即可.解答：解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为1，没有发现劣币的概率是 0.99,故至少发现一100枚劣币的总概率为 1 - 0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为 1，总事件的概率为1 -(°9) 5,|50 |5q作差得P 1 P 2= (°9) 5-0.9910,由计算器算得 P 1 P 2V 050• P 1 V P 2.故选B点评： 本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率冋题，以及利用概率知识解决冋题的能力.7. (2011?潍坊二模)设X 为随机变量，X 〜B (E * )，若随机变量X 的数学期望EX=2，则P( X=2 )等于()A . 113B .4C. 13 D .1 80[16 243 243 2435•电子手表厂生产某批电子手表正品率为则 P ( 1^X €013)等于(A .14考点： 专题： 分析： 解答:超几何分布. 概率与统计.先求出P (X=0),即第 0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论.解：由题意,P (x=o ) =(2)2皿4点评:考点： 二项分布与n 次独立重复试验的模型. 专题： 概率与统计. 分析：根据X 为随机变量，X 〜B (口，1)和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n 的值，再根3据二项分布概率公式得到结果.解答： 解：•••随机变量X 为随机变量，X 〜B (m 士)，•其期望 EX=np=Zn=2, • n=6 ,• P (X=2) _C 舟］1 ) 2 (I-】)攻_ % .(丿 J 厂 3 3|243故选D .点评： 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的 过程，但是两者都要用到期望和方差的公式.8 (2012?衡阳模拟)已知随机变量 严N (0, a 2),且p ( A 1) =p ( M a -3)的值为()A . 2B . - 2C . 0D . 1考点：二项分布与n 次独立重复试验的模型. 专题：计算题；概率与统计.分析：利用正态曲线的对称性，可得曲线的对称轴是直线x=0 ,由此可得结论.解答：解：由题意，•••严N (0, a 2), •••曲线的对称轴是直线 x=0 ,••• p ( A 1) =p ( M a - 3) •- a — 3+1=0 a=2故选A .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题.孑N (0, 1)，若 P ( E 翱=p ,则 P (— 1 v M 0)=(B . pC . 1考点：二项分布与n 次独立重复试验的模型. 专题：概率与统计.分析：随机变量E 服从标准正态分布 N (0, 1),知正态曲线关于 x=0对称，根据P ( =p ，得到P (1> A 0) =± — p ，再根据对称性写出要求概率.•正态曲线关于x=0对称,••• P ( U) =p ,• P (1 > > 0)=丄—p ,故选D .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现 在选择或填空中. 二•填空题(共5小题)10. (2010?上海模拟)在10件产品中有2件次品，任意抽取 3件，则抽到次品个数的数学期望的值是9•设随机变量 A . 1 — p解答：解：•• •随机变量E 服从标准正态分布N (0, 1),1v M 0)考点：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差.专题：计算题.分析：设抽到次品个数为E贝U〜H ( 3 , 2 , 10),利用公式E2，即可求得抽到次品个数的数学期望的值.N解答：解：设抽到次品个数为E,则〜H (3 , 2 , 10)• E jnM 5X2 3 "10 ~5故答案为：上点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解.11 •有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为二考点：超几何分布.专题：概率与统计.分析：从10件产品任取3件的取法共有c£，其中所取的三件中至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为.利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出.解答：解：从10件产品任取3件的取法共有匚补，其中所取的三件中至少有2件次品”包括2件次品、3件次品,10取法分别为因此所求的概率P=故答案为丄.3本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题.点评:12. (2010?枣庄模拟)设随机变量X〜B (n, 0.5),且DX=2，则事件X=1 ”的概率为二^一(作数字作答.) 考点：二项分布与n次独立重复试验的模型.专题：计算题.分析：由随机变量X〜B (n, 0.5),且DX=2，知n >0.5 X( 1 - 0.5) =2，解得n=8.再由二项分布公式能够导出事件X=1”的概率.解答：解：•••随机变量X〜B (n, 0.5),且DX=2 ,••• nX0.5>( 1 - 0.5) =2,••• n=8.• p (x=1) =c；x 0.5X (1-0.5) 1~.故答案为：_•32点评：本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式D手np (1 - p)的灵活运用.13 .若随机变量X服从二项分布，且X〜B (10, 0.8),则EX、DX分别是8 , 1.6 .考点：二项分布与n次独立重复试验的模型.专题：计算题.分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量，做出概率.解答：解：•/ X服从二项分布X〜B (n10, 0.8)由E e=10X).8=8 ,①D 手仁np (1 - p) 10X0.8X0.2=1.6 ,②故答案为8; 1.6点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式.14. (2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为丄，得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记三.解答题(共3小题)X为该毕业生得到面试的公司个数.若P (X=0 )=12，则随机变量X的数学期望E ( X)=上考点：专题：分析：解答: 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.计算题.根据该毕业生得到面试的机会为o时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望.解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0, 1 , 2, 3, 1~，2 1P，•/ P (X=0 )•••护-卩):P==，点评:X的可能取一二一X2X2=12—耳下2 23 25一二二.•二=丄二丄一 -亠二丄=3 2 2 ■ 312 12 12 12?4 5 9=-53本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是础题目.(x=1 )(X=2 )(X=3)故答案为:=12 12'个基215. （2009?朝阳区二模）在袋子中装有 10个大小相同的小球，其中黑球有 3个，白球有n （ 2《韦，且n 希）个， 其余的球为红球.（I ）若n=5,从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有 2个红球的概率；（H ）从袋里任意取出 2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； 15（川）在（n ）的条件下，从袋里任意取出 2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用E 表示取出的2个球所得分数的和，写出E 的分布列，并求 E 的数学期望E E.超几何分布；n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型随机变量的期望与方差. 综合题.（I ）先求出从袋中任取 1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有 2个红球的概率；（n ）根据从袋中一次任取 2个球，如果这2个球颜色相同的概率是 -生建立等式关系，求出n 的值，从而 15 求出红球的个数.（川）E 的取值为2, 3, 4, 5, 6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之 即可；本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题 的关键是正确利用公式求概率.16•某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为 P=0.2 •若从该批产品中任意抽取 3件 （1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2） 求取出的3件产品中次品的件数 X 的概率分布列与期望.考点： 专题： 分析：解答:解：（I ）设从袋中任取1个球是红球”为事件A ，则二$ i 丄.所以,P 3 ⑵二 c”2 4125 125答：三次取球中恰有 2个红球的概率为12 …（4分）125（n ）设从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B ,7?7P ⑹5+J+C TF 」（690C 2 u 10整理得：n 2- 7n +12=0,解得n=3 （舍）或n=4.所以，红球的个数为 3个.••- （8分）15（川）E 的取值为2, 3, 4, 5, 6，且P 二2）r l r l^10所以所以,C1DE 的分布列为2261 51 QA1111 Q吐曲磊十弼寻十4購十5电E 寻老.…（13分）点评:x=2 …（2 分）（4分）2） •/ X 可能为 0, 1 , 2本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大.17. (2006?崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取 这样的战术：顽强防守，0： 0逼平甲队进入点球大战.假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为上•现规定:4点球大战中每队各出 5名队员，且每名队员都各踢一球，求： (I) 乙队以4： 3点球取胜的概率有多大？ (II)设点球中乙队得分为随机变量三求乙队在五个点球中得分 E 的概率分布和数学期望.(I)根据相互独立事件的概率公式以及 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式进行求解即可；(II)点球中乙队得分为随机变量 E 的取值可能为0, 1, 2, 3, 4, 5,然后根据n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可.解：(I )乙队以4: 3点球取胜的概率为 P=： 1'：'54考点： 二项分布与n 次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差. 专题： 计算题. 考点： 专题： 分析：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差. 应用题. 设该批产品中次品有x 件，由已知丄—，，可求次品的件数(1)设取出的3件产品中次品的件数为 (2)取出的3件产品中次品的件数 XQ 1匚 X , 3件产品中恰好有一件次品的概率为v10可能为0, 1, 2,求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望.715解答:解：设该批产品中次品有 x 件，由已知(1)设取出的3件产品中次品的件数为X , 3件产品中恰好有一件次品的概率为：'■::]_7c 3 v1015r 3 （X=05 =—^-='cio的分布为：X 0 12 p7 7115则丄+卩丄」15 2 15- 3 5 • （13 分）点评: 解答:=0.1043(II )点球中乙队得分为随机变量 E 的取值可能为0,1, 2, 3,p （e=0）=c| 中210,p ( e=1)=」15 =尹，P2!3=2）= F 二4529…(10分)召P 〔X 二1)lb.X分析:点评:243229+4心」-+5宀本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与计算能力，属于中档题.0 1••• E的分布列为E 3451354052432 10 2 10=3.75n次独立重复试验的模型，同时考查了2。