二、趋势平稳与差分平稳随机过程
经济系统中存在一些时间序列，虽然 在经济意义上彼此不相关，但由于二者表 现出共同的变化趋势，当对它们进行回归 时往往表现出较高的拟合优度和统计显著 性。但这种回归结果并没有实际意义，这 是一种虚假的回归，称为伪回归。
伪回归就是对于两个独立的一阶单 整序I（1）进行回归时，常常会得 到一个显著的t估计量。
平稳性的特征就是要求所有时间相
邻项之间的相关关系具有相同的性质。 判断一个时间序列数据是否产生于一个 平稳过程是很困难的。 ..通常而言，时 间序列数据是弱平稳的就足够了。因此， 弱平稳是时间序列分析中的常用平稳性 概念。
• 弱平稳也称为协方差平稳过程。
• 弱平稳是指随机过程{Yt}的均值和方差不 随时间的推移而变化，并且任何两时期之 间的协方差仅依赖于该两时期的间隔，而 与t无关。即随机过程{Yt}满足
• 1.2 单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
• 1.2.1单整
• 对于随机游走序列， .其一阶差分为
•
Yt Yt Yt1 vt
（1.23）
• 由于是一个白噪声序列，因此差分后时间
序列{ Yt }是平稳的。
• 如果一个时间序列经过一次差分后变为 平稳的序列，则称该时间序列是一阶单
整序列，记为{Yt}～I(1)。一般地，如果 序列{Yt}经过d次差分后平稳，则称该序 列是d阶单整，记为{Yt}～I(d)，如果时序 列本身是平稳的，称为0阶单整序列，记 为{Yt}～I(0)。
设为:ρ=1，则 t 统计量为
t ˆ 1 Se( ˆ )
（1.12）
• 但是，在原假设下（序列非平稳），t 不服从传统的 t 分布 .，因此 t 检验方法 就不再适用。Dickey和Fuller于1976年 提出了这一情况下 t 统计量服从的分布 （此时表示为‫ז‬统计量），即DF分布， 因此该检验方法称为DF检验。
•
Yt Yt1 vt
（1.2）
• 式（1.2）中Yt称为随机游走序列。随机 游走序列的特征为: Yt以前一期的Yt-1为基 础，加上一个均值为零且独立于Yt-1的随 机变量。随机游走的名字正是来源于它的
这个特征。
• 对式（1.2）进行反复迭代，可得
• Yt vt vt1 v1 Y0
H0 : 0 （非平稳）
H0 : 0 （平稳）
• DF检验的判别规则是：DF≥临界值，则Yt 非平稳，D<临界值，Yt则是平稳的。
• 3.ADF检验
• 进行DF检验时，假定误差项为经典误差项，不存 在自相关，即时间序列是一阶自相关过程AR （1）。但多数时间序列经济计量模型均不能满足 这一条件，使用OLS法进行参数估计通常表现为 随机误差项为自相关，导致DF检验无效。为了保 证单位根检验的有效性，Dickey和Fuller对DF检 验进行扩充，形成了ADF（augment DickeyFuller test）。
H0 : 0 ，即存在单位根。ADF检验的 原理与DF检验相同，模型不同时，检验 临界值亦不同。实际检验时，首先对模型 （3）进行单位根检验，然后模型（2）、 模型（1）。在此过程中，只要“不存在 单位根”的结论出现，检验就结束。否则 就一直检验到模型（1）。
• 【例8.1】检验中国1985-2005年城镇居民 家庭人均实际消费支出与实际可支配收入 的平稳性。
• 表8.1 中国1985-2005年城镇居民家庭人均 实际消费支出与实际可支配收入 单位：元
• 由于城镇居民家庭人均实际消费支出与实 际可支配收入均为有长期趋势的时间序列， 因此应选用模型（3）进行ADF检验 .。检 验结果如表8.2所示。设X为居民家庭人均 实际可支配收入，Y为居民家庭人均实际消 费支出。
• ADF检验是通过如下三个模型完成的
• (1) • (2) • (3)
m
Yt Yt1 iYti vt i 1
（1.20）
m
Yt Yt1 iYti vt
（1.21）
i 1
Yt t Yt1 m iYti vt （1.22）
1
• 模型（3）中t是时间变量。原假设都是
Yt ( 1)Yt1 vt
（1.10）
Yt-1 vt
中参数γ是否小于0。
式非（平1稳.9的）。中式的（参1数.1ρ0）=1中时，，γ时=间0时序，列时Y间t是 序列Yt是非平稳的。
2.DF检验
要检验时间序列的平稳性，可通过t检验 完成假设检验。即对于下式
Yt Yt1 vt
（1.11）
要检验该序列是否含有单位根。设定原假
• 在现实经济系统中，多数经济变量的时间 序列是非平稳的，如GDP、财政收入、居 民收入等。只有少数时间序列是平稳的， 如利率、通货膨胀率等。多数非平稳的时 间序列经过一次或多次差分可变为平稳的。 也有少数时间序列不能通过差分变为平稳 的，称这类序列为非单整时间序列。
【例8.2】检验例8.1中居民家庭人均实际消费 支出Y与实际可支配收入X的单整性。使用ADF
• 在时间序列计量分析实践中，时间序列的 平稳性是根本性前提 .，因此，在进经济
计量分析前，必须对时间序列数据进行平 稳性检验。
• 1.1.2平稳性的单位根检验
• 时间序列的平稳性可通过图形和自相关函 数进行检验。在现代，单位根检验方法为 时间序列平稳性检验的最常用方法。
• 1.单位根检验（unit root test）
• 则式(1.6) 变换为
• (1 1L 2L2 mLm )Yt vt • 记为 (L) (1 1L 2 L2 m Lm )
• 则称多项式方程
（1.8）
(Z ) (1 1Z 2 Z 2 m Z m ) 0
为AR（m）的特征方程。可以证明，如果 该特征方程的所有根在单位圆外（根的模 大于1），则AR（m）模型是平稳的。
一个平稳的时间序列过程的概率分布 与时间的位移无关。如果从序列中任意 取一组随机变量并把这个序列向前移动h 个时间，其联合概率分布保持不变。这 就是严格平稳的含义，其严格定义如下:
平稳随机过程：对一个随过程 {Yt:t=1,2,…}, h为整数，如 Yt1,Yt2 ,,Ytm 的联合分布与 的联合分布 Yt1h ,Yt2h ,,Ytmh 相同，那么随机过程{Yt}就是平稳的。
若T为离散集合，则{Yt}为离散型随 机过程。
离散型时间指标集的随机过程通常 称为随机型时间序列，.简称为时间序 列。
经济分析中常用的时间序列数据都 是经济变量随机序列的一个实现。
时间序列的平稳性（stationary process）是时间序列经济计量分析中 的非常重要问题。时间序列的平稳性是 指时间序列的统计规律不会随着时间的 推移而发生变化。 .就是说产生变量时间 序列数据的随机过程的特征不随时间变 化而变化。
(1)均值 E(Yt ) ，μ为与时间t 无关的常数。 (2)方差 Var(Yt ) 2 , 2 为与时间t无关的常数。 (3)协方差 Cov(Yt ,Yth ) h ，只与时间间隔h有
关，与时间t无关。 则称{Yt}为弱平稳过程。在时间序列计量分 析中，平稳过程通常指的是弱平稳。
• 如果一个时间序列是不平稳的，就称它为 非平稳时间序列。也就是说，时间序列的 统计规律随时间的推动而发生变化。此时， 要通过回归分析研究某个变量在跨时间区 域的对一个或多变量的依赖关系就是困难 的，也就是说当时间序列为非平稳时，就 无法知道一个变量的变化如何影响另一个 变量。
检验，结果如表8.3所示。
表8.3 时间序列单整性检验表
变量
ADF检 显著性 临界值 验值 水平
检验结 果
X二次差分 -4.902 5% -3.712 平稳 Y二次差分 -4.305 5% -3.712 平稳
• 由表8.3的检验结果可以看出ADF检验 的τ统计量均小于临界值，因此拒绝原 假设，序列X,Y的二次差分序列均不存 在单位根，为平稳序列。因此，居民家 庭人均实际消费支出Y与实际可支配收 入X均为二阶单整序列，即I(2)序列。
• (1)一阶自回归模型
•
Yt Yt1 vt
• （2）包含常数项的模型
（1.13）
•
Yt Yt1 vt
（1.14）
• （3）包含常数项和时间趋势项的模型
•
Yt t Yt1 vt （1.15）
• DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即
• DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，
表8.2 时间序列平稳性检验表
变量 ADF检 显著性 临界值 检验结
验值 水平
果
X 0.079 5% -3.675 不平稳 Y 0.251 5% -3.675 不平稳
• 由检验结果可以看出，ADF检验的τ统 计量均为正值，大于临界值，因此不 能拒绝原假设，序列X,Y均存在单位根， 居民家庭人均实际消费支出Y与实际 可支配收入X均为不平稳时间序列。
• 对于AR（1）过程。
•
Yt Yt1 vt
（1.9）
• vt为经典误差项，如果ρ＝1，则Yt有一个 单位根，称Yt为单位根过程，序列Yt是非 平稳的。因此，要判断某时间序列是否平
稳可通过判断它是否存在单位根，这就是 时间序列平稳性的单位根检验。
• 检 验验一一阶个自时回间归序 模列 型中Yt的的平参稳数性ρ是.，否可小通于过1。检 或者检验另一种表达形式
• 该方法采用OLS法估计式（1.11），计 算 t 统计量的值，与DF分布表中给定显 著性水平下的临界值比较。如果 t 统计量
的值小于临界值（左尾单侧检验），就 意味着ρ足够小，拒绝原假设:ρ=1，判别 时间序列Yt不存在单位根，是平稳的。
• Dickey和Fuller研究认为DF检验的临 界值与数据序列的生成过程以及回归 模型的类型有关。因此，他们针对以 下三种模型编制了DF分布表。
• 时间序列中往往存在滞后效应，即前后变 量彼此相关。对于时间序列Yt而言，最典型 的状况就是一阶自回归形式AR（1），即Yt 与Yt-1 相关， .而与Yt-2 , Yt-3 ，…无关。其 表达式为