第一章勾股定理
1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2.勾股定理定义的应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC
∆中，90
C
∠=︒
，则c
，b
，a）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
例. 在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
3.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等
式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4
EFGH
S S S
∆
+=
正方形正方形ABCD
，22
1
4()
2
ab b a c
⨯+-=，化简
可证
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
22
1
42
2
S ab c ab c
=⨯+=+
大正方形面积为222
()2
S a b a ab b
=+=++所以222
a b c
+=
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么
c
b a
H
G
F
E
D
C
B
A
b
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
b
ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 7 24 25 ，8 15 17
注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转
化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；
（2）验证c 2与a 2+b 2
是否具有相等关系，
若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形； 若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）
例.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。
若一个三角形的三边长分别为3,4,7，则这个三角形是________（按角分类）。
6.勾股定理的应用
（1） 立体图形上两点间的最短距离
柱体的侧面展开图是一个矩形，求柱体上两点之间最短距离，需要把柱体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短线为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。
例：有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. 如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (结果保留π)
（2）平面图形中的长短问题
在求平面图形中某条线段的长时，可以通过设未知数，构建方程求解。
例.如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？
·
·
练习
（一）判断三角形：
1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(2
2
=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形 2.在∆ABC 中，若2
a =（
b +
c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为 4.已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 5.已知2512-++-y x x 与25102
+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
6.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12
-n ，b =2n ，c =12
+n （n >1） 试说明：∠C=︒90。
7.若∆ABC 的三边a 、b 、
c 满足条件2a c b a c b 2624103382
2++=+++，试判断∆ABC 的形状。
（二）、实际应用：
1. 梯子滑动问题：
（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米
（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）
A. y x =
B. y x >
C. y x <
D. 不能确定
（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米
8
6
A
C
B
2. 爬行距离最短问题：
1.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD 上的点F 距地面的高FD=8㎝，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 分米？
3. 如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点B ，则它走过的路程最短为（ ） A.
a 3 B. ()
a 21+ C. a 3 D.a 5
B
A
Q
N
M
P
（三）求边长：
1. （1）在R t ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=︒90 ①已知：a =6，c =10，求b ； ②已知：a =40，b =9，求c ；
2.如图所示，在四边形ABCD 中，∠BAD=︒90，∠DBC=︒90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD 。
（四）方向问题：
1. 有一次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN 航行，在A 点望湖中小岛M ，测得∠MAN ＝30°，当他到B 点时，测得∠MBN ＝45°，AB ＝100米，你能算出AM 的长吗？
M
A B N
2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
⑴ 此时轮船离开出发点多少km?
⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?
（五）利用三角形面积相等：
1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则边AC 上的高为（ ） A.
223 B. 5103 C. 553 D. 55
4
A
B
C
（六）折叠问题：
1.如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长
2.如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积
D
C
B
A
F E
3.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
4.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6 （1）△ACD 是什么三角形？为什么？ （2）把△ACD 沿直线AC 向下翻折，CD 交AB 于点E ，若重叠部分面积为4，求D'E 的长。
E D C
B
A C'。