【高中数学专项突破】专题25 对数的概念及运算题组1 对数的概念1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2<a <3或3<a <5 C.2<a <5D.3<a <42.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.12a >且1a ≠ B.102a <<C.0a >且1a ≠D.12a <3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）A.()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()()0,11,+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭题组2 对数式与指数式的互化4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.01e =与ln10=B.13182-=与811log 23=-C.3log 92=与1293=D.7log 71=与177=5.若1log 2m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12n m =B.2m n =C.2n m =D.2n m =6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log ca b N = B.log ab c N =C.log c a b N =D.log ba c N =7.若7log xy z =，则（ ）A.7z y x =B.7z y x =C.7z y x =D.7x y z =8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ）A.12 B.15 C.16D.19.将下列指数式改为对数式：（1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________ 11.已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 12.设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 13.将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=； （2）31log 481=-； （3）l g0.0013=-； （4）12log 42=-.题组3 对数的运算14.设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）10 B.10 C.20 D.10015.设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+C.m n m n mn +>->D.mn m n m n >->+16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ） A.235x y z <<B.532z y x <<C.325y x z <<D.523z x y <<17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.32B.94C.4D.818.如果方程2lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ） A.lg 2lg3 B.lg 2lg3+C.16D.6-19.化简计算：（1）201630.25343621.5822373-⎛⎫⎛⎫⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.20.下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)；②已知28log 3,43y x ==，则2x y +的值为3；③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =；④11()()122xf x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.21.151lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭______.22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________. 23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则+a b = . 24.已知a ＝2020log 2019b ＝2019log 2020c ＝201912020，则__.（比较大小）25.若幂函数()()257mf x m m x =-+在R 上为增函数,1log 2log 272lg 5lg 4mm m++=____________ .专题25 对数的概念及运算题组1 对数的概念1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2B.2<a <3或3<a <5C.2<a <5D.3<a <4【答案】B【解析】由对数的定义知505202213a a a a a a -><⎧⎧⎪⎪->⇒>⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩所以2<a <3或3<a <5.选B.2.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.12a >且1a ≠ B.102a <<C.0a >且1a ≠D.12a <【答案】B【解析】要使对数有意义，则21001a a a -+>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得102a <<， 故选：B.3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()()0,11,+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】使对数()log 21a a -+有意义的a 需满足01210a a a >⎧⎪≠⎨⎪-+>⎩, 解得102a <<. 故选B.题组2 对数式与指数式的互化4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.01e =与ln10=B.13182-=与811log 23=-C.3log 92=与1293=D.7log 71=与177=【答案】C【解析】01ln10e =⇔=，故A 正确；13182-=⇔811log 23=-，故B 正确； 23log 9239=⇒=，129193log 32=⇒=，故C 不正确； 17log 7177=⇔=，故D 正确.故选：C . 5.若1log 2m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12n m =B.2m n =C.2n m =D.2n m =【答案】B【解析】由log a b c =得c a b =，从而由1log 2m n =可知12m n =，即2m n =. 故选:B.6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log ca b N = B.log ab c N =C.log c a b N =D.log ba c N =【答案】C 【解析】()bbc c a a N ==，则log c a b N =，()bcbc a a N ==，则log b a c N =.故选：C.7.若log xz =，则（ ）A.7z y x =B.7z y x =C.7z y x =D.7x y z =【答案】B【解析】由指数与对数的转化,可得log x z =则z x =即7zy x =故选:B8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ） A.12B.15C.16D.1【答案】D【解析】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==. 故选D.9.将下列指数式改为对数式： （1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.【答案】31log 29=-81log 2= 813log 4=-x ln9=x【解析】(1) 利用互化公式可得，2139-=31log 29⇔=-.(2)利用互化公式可得，128=81log 2⇔= (3) 利用互化公式可得，3481x -=813log 4x ⇔=- (4) 利用互化公式可得，9x e =ln9x ⇔=. 故答案为: 31log 29=-；81log 2=；813log 4=-x ；ln9=x .10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________ 【答案】210100=【解析】由指数式与对数式的相互转化关系：log (0,1)xa a N x N a a =⇔=≠＞，可得lg1002=得到的指数式为：210100=， 故答案为：210100=.11.已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 【答案】4【解析】2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23log 4a =.故答案为：4.12.设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.【答案】【解析】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=， 则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:13.将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=； （2）31log 481=-； （3）l g0.0013=-； （4）12log 42=-.【答案】（1）6264=；（2）41381-=；（3）3100.001-=；（4）2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】（1）62log 646264=⇔=.（2）4311log 438181-=-⇔=. （3）3l g0.0013100.001-=-⇔=.（4）2121log 4242-⎛⎫=-⇔= ⎪⎝⎭.题组3 对数的运算14.设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ） A.10 B.10C.20D.100【答案】A【解析】因为25a b m ==， 所以25log ,log a m b m ==， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， 210m ∴=，又0m >，∴10m =.故选：A15.设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+C.m n m n mn +>->D.mn m n m n >->+【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n+=+=<= m n mn ∴+> 故选:A.16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ）A.235x y z <<B.532z y x <<C.325y x z <<D.523z x y <<【答案】B 【解析】235log log log 1x y z ==<-∴设235log log log k x y z ===，则1k <-，则2,3,5k k kx y z ===则11122,33,55k k k x y z +++===设函数()1k f t t+=，1,10k k <-∴+<()f t ∴在()0,t ∈+∞单调递减 ()()()532f f f <<即111532k k k +++<<，因此532z y x << 故选B 项.17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.32B.94C.4D.8【答案】B【解析】0a >，0b >，8ab =， 则22log log a b 222(log 8log )log b b =-22(3log )log b b =-2223log (log )b b =- 22939log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当且仅当322b =时，函数取得最大值94. 故选：B.18.如果方程2lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ） A.lg 2lg3 B.lg 2lg3+C.16D.6-【答案】C【解析】由题意1lg x 、2lg x 是关于t 的方程2lg 6lg 2lg 30t t +⋅+=的两根， ∴()12121lg lg lg lg 6lg 6x x x x =+=-=，∴1216x x =， 故选：C. 19.化简计算：（1）0160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-. 【答案】（1）110；（2）-1 【解析】（1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅-- ()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-20.下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11()()122x f x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.【答案】①②④【解析】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确，②已知2log 3x =，843y =，则2823y=，282log 3y =， 则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确，③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-， 则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xx x f x x x +=-=--， 则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x x f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④， 故答案为：①②④21.1051lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭______.【答案】0【解析】1025155lg 2lg 22lg lg 221lg(4)102222-⎛⎫+-+=+-+=⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________. 【答案】45.【解析】根据对数的运算性质，可得422log 9log 3,log 5a b ===， 则22log 3log 5223,225ab ====，所以()2222223545a ba b +=⋅=⨯=.23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则+a b = .【答案】【解析】因为1a b >>，所以log 1b a >，又10log log 3a b b a +=， 110log log 3b b a a +=，整理得2103(log )10log 3,3b b a a -+= 解得log 3b a =或1log 3b a =（舍去） 因此3a b =，因为b a a b =，所以33b b b b =，33,1,b b b b a =>∴==a b +=24.已知a ＝2020log b ＝2019log c ＝201912020，则__.（比较大小）【答案】c ＞b ＞a【解析】因为c ＝201912020＞1，a ＝2020log 202011log 201922<，b ＝2019log 20191log 20202∈（12，1），∴c ＞b ＞a ，故答案为：c ＞b ＞a25.若幂函数()()257mf x m m x =-+在R 上为增函数,则1log2log 2lg 5lg 4mm m++=____________ .【答案】4 【解析】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3m =， 1log2log 2lg 5lg 4mm m ∴++31log 23log lg 25lg 43=++3231log 3lg1002=++312422=++=，故答案为4.。