三角函数图象的平移和
伸缩
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由
ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换
称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象()
ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象．
x
y sin =)
3sin(π
+=x y )
3
2sin(π
+=x y )
3
2sin(3π
+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位
纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
ϕϕϕω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象．
例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
的图象．
解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π
4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图
象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1
2，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图象；③将所得图象的纵坐标
伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长
度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
的图象．
)
3
2sin(3π
+=x y x
y sin =x
y 2sin =)
3
2sin(π
+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位
横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1
2，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8
个单位
长度得π2sin 28y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到
π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π
8
个单位长度得
到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，把πsin 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图象的横坐标
缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象．
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：ππsin 2cos 2cos 22
2y x x x ⎛⎫⎛
⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
，
在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥
⎣
⎦
⎝
⎭
． 根据题意，有π
π22224x a x --=-，得π8
a =-．
所以将sin 2y x =的图象向左平移π
8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
的图象．。