南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：数学中转化思想的运用院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：戴涛学号08090221指导教师：肖艳艳南京师范大学泰州学院教务处制摘要：数学思想方法是数学的精髓，转化思想方法又是数学思想的核心和精髓。
因新课标下初高中数学呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生不适应学习的现象突出，故师生们更迫切通过强化数学思想的方法，改进思想方法的教学与应用，来提高学生的数学思想能力。
本文试图从转化思想的内涵与原则角度出发，并结合几种常见的转化思想方法来探究转化思想的应用性。
关键词：数学思想；转化化归思想；应用性Abstract:Mathematics method of thinking is the essence of mathematics, conversion method is the core and essence of mathematical thought. Because under the new curriculum in junior and senior high school mathematics "characteristics of high starting point, high difficulty, capacity, time tight", students do not adapt to the learning phenomenon is prominent, so teachers and students more urgent by strengthening mathematical thought, teaching and application of the improved method of thinking, to improve the mathematics thinking ability of students. This paper attempts to start from the connotation of transformation thought and principle, application and combination of several common methods of transformation thought to explore the transformation of thought.Keywords: Mathematical thinking, to the conversion of thinking, application目录1绪论 (3)1.1 研究意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)2关于转化思想 (4)2.1 不同角度下的转化思想 (4)2.2 用转化思想解题的一般模式（或思维过程） (4)2.3 转化思想的三种形式 (4)2.4 转化思想的原则与特征 (5)3转化思想的常用方法 (6)3.1 换元法 (6)3.2 数形结合法 (6)3.3 等价转化法 (7)3.4 构造法 (7)3.5 补集法 (8)4转化能力的培养 (9)4.1 加强数学语言发生过程教学是培养学生转化能力的基础 (9)4.2 揭示概念间的联系是培养转化能力的关键 (9)4.3 经常做转化练习是培养转化能力的保证 (9)5转化在数学教学中的地位 (10)结论 (11)谢辞 (12)参考文献 (13)1 绪论研究数学教学中转化思想的目的是为了解决新课标下初高中数学衔接上呈现高中数学“起点高、难度大、容量多、课时紧”的问题，通过研究转化思想的运用来教导学生们解决问题[1]。
本文从转化思想的研究意义，国内外背景入手，探讨了数学转化思想的几种方法，列举了相当一些的实例来讲解数学转化思想的精髓，进而阐述转化思想在数学教学中的地位，并对如何培养转化能力提出了一些方法。
希望通过此文来引起学生们对转化思想的重视，使他们在解决问题时得心应手。
1.1 研究意义转化思想方法在数学中有着很重要的地位和作用。
面对千变万化的数学问题，转化思想方法的运用，无时不有，无处不存，尤其是在解答实际问题和综合问题时，运用转化思想策略换一个角度看问题，常常是打破僵局的希望。
通过解题中不断调整思路，不断合理转化，可以使我们少一些“山穷水尽疑无路”的尴尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悦[2]。
1.2 国内外研究现状转化思想是一个非常重要的数学思想，它是数学思想的精髓和核心，具有较强的应用性，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
国外在研究转化思想的方法上具有开创性。
布卢姆在《教育目标分类学》中明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，它可以从语言描述向图形表示转化，或从语言表达向符号形式的转化，或是每一种情况的逆转化。
著名数学家欧拉（Euler）也曾在解决哥尼斯堡七桥问题时,采用了转化的思想方法[3]。
相较国外，国内在研究数学转化思想方法上还处于初始阶段。
2 关于转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，其实质就是我们在研究问题工程中，有意识的对问题进行分析、联想，把未知解法的问题转化为在已有知识范围内可解的问题，使之达到“思想明朗化，方法简单化”的目的。
2.1 不同角度下的转化思想从哲学上来看，转化化归是用运动、变化、联系、发展的观点来看问题；从思想结构上看，首先必须对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论形成深刻的认识，当遇到生疏或复杂的问题时，通过寻找该问题与基本问题的关系，“化生为熟、化繁为简、化未知为已知、化抽象为具体”来解决问题。
其基本原则有熟悉化、简单化、和谐化、正难则反原则[4]。
2.2 用转化思想解题的一般模式2.3 转化思想的三种形式（1）化大为小，化繁为简。
这里主要指的是把一个大问题化成若干个小问题（大小是指对某个参数的值或取值可能而言，或是依某个可比指标而言），每个小问题解决了也就得出了原来大问题的解。
例如，用代入法消元或加减法消元，将多元方程化成一元方程，用因式分解将二次方程求解化成两个一次方程求解；依某个参数的各种取值可能将一个问题化成若干个问题分别求解（例如底中含参数的指数或对数不等式、分式不等式、含绝对数不等式的求解等）；在解排列组合问题中依是否满足某些给定的条件，而将计数的对象分类求和，即加法原理的应用，依照合乎所有所给条件的对象的产生过程而转化成若干个阶段，计算某阶段所有可能的方法再用乘法原理得出原对象的个数等等。
所有这些方法都是人们遵循“化大为小，化繁为简”的思想方法而具体化得出的实施方法[5]。
这一思想贯穿于整个数学教学过程之中。
（2）等价转化思想。
把一个问题转化成与它等价的另一个问题，用各种方法进行转化可得到一系列等价命题。
这其中只要有一个得到解决，则所有这些等价命题都同时待解决或未解决问题转化 问题 已能解决或比较容易解决的再转化 解 答 解 答 解 答得到解决。
这也是数学中最常用的方法之一。
依转化的方法不同，问题的性质不同而有不同的转化方法，而转化的目的则是化难为易，化未知为已知，即希望在等价命题中发现一个容易解决的，或发现一个已经解决的。
当然等价转化过程要注意转化的条件，保持等价性。
例如，法国数学家笛卡尔通过建立坐标系将曲线和方程联系起来，把几何问题化为代数问题，引入待定系数把某些问题化为方程组的解；原命题化为等价的逆否命题；构成一定的数学模型将问题转化成等价命题等。
应用这个方法要求对各命题之间的关系有一个准确的了解，对一种数学表达式有多种解释的能力，还要有一定的构造数学模型的能力。
（3）不等价的转化思想。
这里又分两类，其一是找充分条件，为了证明A ，我们找出命题，它们有关系12n A A A A ⇐⇐⇐⇐ ，然后证明n A ，从而断言A 为真；其二是找必要条件，为了否定A ，我们找出命题12n B B B ，它们有关系：1()n A B B ⇒⇒⇒ ，然后证明n B 不真，从而断言A 也不真。
这两个方面的转化在数学中都发挥了巨大作用。
例如，在不等式的证明中有关充分性与必要性的论证过程恰好分属上面两类。
又如依据不等式的传递性,a b b c a c ≤≤⇒≤而发展出来的放缩法也属于此类，而放与缩恰好属于上面两种不同的转化方式。
再如在数学中常用构造一个特例来否定某一个对全体情况而作的肯定论断，为了证明某一个问题，在其中选定一个参数，让它取任意可能的值而得到另一个更一般的命题，然后再证明这个一般结论，从而导致其特列即原命题也成立等等，都属此类思想的应用。
2.4 转化思想的原则与特征人类在研究数学的长期实践中，获得了大量的成果，并积累了丰富的经验，许多问题的研究已经形成了固定的方法和约定俗成的步骤。
我们把这种有既定解决方法和程序的问题叫做规范问题，而把一个问题转化为规范问题的过程称为问题的规范化。
转化思想的核心就是实现问题的规范化，以便通过已知的理论、方法及技术解决问题。
熟悉化、简单化和直观化是一切转化应遵循的基本原理，而化未知为已知、化一般为特殊、化特殊为一般、化抽象为具体和化繁为简是转化的方向。
转化思想具有多向性、层次性和重复性的特征。
为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性；转化思想既可以用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法和技术，从微观上解释多种具体问题，这是层次性；而解决问题时可以多次使用转化思想，使问题逐次达到规范化，这是重复性。
3 转化思想的常用方法转化思想的方法有很多种，下面介绍典型的几种。
3.1 换元法运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
的最小值求实数：已知例)cos )(sin (,1x a x a y R a --=∈思维启迪：本题考查函数的最值问题、化归思想及运算能力。
观察到等式右边是关于sin cos x x 与sin cos x x +的三角式,可设sin cos t x x =+,则原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题。
解:函数可化为2sin cos (sin cos )y x x a x x a =⋅-++sin cos ,2sin(),2,24t x x t x t π⎡⎤=+=+∈-⎣⎦设故 2211sin cos (sin cos )1(1)22x x x x t ⎡⎤⋅=+-=-⎣⎦ 2222211111(1)=22222a at t t at a a -+-=-+--则原式 22111()()()[2,2]222y f t f t t a a t ==-+-∈-于是，原问题化归为求二次函数在上的最值问题。