qx4
ql 12
x3
C x D 1
1
C 材料力学方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E Iw m a x E Iw |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l4 3 2 l 3 5 8 q 4 lE 2 I
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
1 M z (x)
EI z * 思考：
1、若M常量
2、 若MM（x）
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw (x)M (x)
EIw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 w w(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 qtanqdwx
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
dx
符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2、边界条件、连续条件
A w
D w
a
P C
B
L
x
P
L
x
x0,w0 xL,w0 x a , w1 w2
w1 w2
x0,w0
x0,wq0
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
EIw(x)M(x)
* 注意问题
什么时候需要分段积分？
如何确定极值？
L1
A
C
L2
P
B
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转
B
2 求出弯矩方程
w m ax
x
Mxql x1qx2
22
3 微分方程的积分
w
FA
ql 2
L
FB
ql 2
4 边界条件、连续条件
EIw (x)M x1qx2qlxEIw(0) 0 D1 0
2 2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
弹性曲线方程 w(x) Px2 (3Lx)
6EI
P L
x
最大挠度及最大转角
w
qmax
q(L)
PL2 2EI
wmax
w(L)
PL3 3EI
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端
截面的转角。
q0
解：1 确定反力
A
7 梁两端的转角
EIqA EIq|x0q2l43
EIqB
EIq|xl
1ql3qll2ql3 ql3
6 4 24 材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
和转角方程，最大挠度及最大转角。
a
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
A
M1 x
FAy x
Fb l
x
x 0,a
F b l 2 b 2 x 6l
6 最大转角
E Iq A
E Iq
|x 0
Fab l
6l
b
E Iq B
E Iq
|x l
Fab 6l
l
a
if a b th en
q m ax
q B
Fab 6 lE I
l
a
if a b th en
q m ax
F l2 16EI
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
角。 弯矩方程
L
P
M (x)P(Lx)
x
微分方程的积分
w
E I w ( x ) M ( x ) P ( L x ) 边界条件、连续条件
EIw1 2P(Lx)2C1 EIw1 6P(Lx)3C1xC2
EIw(0)16PL3C2 0
EIw(0)1 2PL2C10
C1
1 2
P L2
C2
1 6
PL3
C2EIw2(l) 0
连续条件
D1 0
Fbl3 1Fl
6l 6 C2l D2 0
a3
再积分一次：
EIw1 (a)EIw2 (a) C1C2
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
D1
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
F
x
a3
EIw1(a)EIw2(a) 积分成数为 D1 D2 0
D1D2
C2 x D2
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1
Fb 2l
x2
Fb 6l
l2 b2
E Iw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a 2
F b l 2 b 2 6l
EIw1
Fb 6l
x3
Fb 6l
l2 b2
x
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
F
x
a 3
M2
x
Fb l
x
F
x
a
x a,l
3 微分方程的积分
l
FA
Fb l
EIw1(x)M1xFlbx
F D
B
FB
Fa l
EIw2(x)M2
x
FbxF xa l 材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
积分一次：
4 边界条件、连续条件
EIw1 EIw2
Fb 2l
x2
C1
Fbx2 1Fxa2
2l 2
边界条件 EIw1(0) 0
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q]0.30
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
3，影响变形的因素
L1时 0,Q的影响M的 只 3% 有 h
由小变形条件 x不 ，计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.2 挠曲线近似微分方程
6 最大挠度
w h e n w 1 0
F b x 2 F b l 2 b 2 0 2l 6l
x
l2 b2
a l b
a a 2b
3
3
3
if a b then x a
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
M>0
d
2w(x) dx2
0
1(1 ww (x2))32小变形 w(x)
w2 1 w(x)Mz(x)
o
EIz
M<0
d
2w(x) dx2
0
x
w(x) Mz(x) EIz
w ( x )
挠曲线近似微分方程
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
EIw (x)M (x)