第 4 讲盈亏问题 教学目标 本讲主要学习三种类型的盈亏问题： 1. 理解掌握条件转型盈亏问题：

2. 理解掌握关系互换性盈亏问题 ;

3. 理解掌握其他类型的盈亏问题， 本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题

其本公式的含义， 在通过例 题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。 经典精讲 盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配 物品时，经常会产程这种盈亏现象。 盈亏问题的关键是专注两次分配 时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类： “一盈一亏”、“两盈” “两亏”。 1. “盈亏”型 例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果， 如果每人分 4 粒就多 9 粒，如果每人分 5 粒则少 6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？ 【分析】由题目条件知道， 同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种 分配方案，第一种没人分 4 粒就多 9 粒，，第二种每人分 5 粒则少 6 粒，两种不同方案一多一少差 9+6=15（粒），相差原理在于两种方案 分配数不同，两次分配数之差为 15 1 15 （位），糖果的粒数为： 4 15 9 69 （粒）。 2. “盈盈”型

例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴 10 个桃，就多出 9 个桃，每 只小猴分 11个桃则多出 2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子 一共有多少个桃子？ 分析：老猴子的第一种方案盈 9 个桃子，第二种方案盈 2个，所以盈 亏综合是 9-2=7（个），两次分配之差是 11-10-1（个）有盈亏问题公 式得，有小猴子： 7 1 7 （只），老猴子有 7 10 9 79 （个）桃子。 3. “亏亏”型 例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每

人发 10本，还差 9本，每人发 9本，还差 9本，第二次就只差 2本了呢？ 因为两次分配数量不一样， 第一次分配时每人少发一本， 也就是共有 7 1 7

（人）书有 7 10 9 61（本）。 根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式： （盈 +亏 ） 两次分得之差 =人数或单位

数 （盈 -盈） 两次分得之差 =人数或单位数 （亏 -亏） 两次分得之差 =人数或单位数 条件转化型的盈亏问题 这种类型的题目不能直接计算， 要将其中的一个条件转化， 使之成为 普通盈亏问题。 【例1】 军队分配宿舍，如果每间住 3 人，则多出 20 人；如果每间 住 6 人，余下 2 人可以每人住一个房间， 现在每间住 10 人， 可以空出多少个房间？ 【分析】每间住 6 人，余下 2人可以每人各住一个房间，说明多出两 个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少 6 2 2 10 （人）， 那么两次分配方案人数相差 20+10=30（人），即可以空出 10-50 10 5 （间）房间。 【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住 12人，则 34 人没有位置；如果每个房间住 14人，则空出 4 个房间。求学生宿舍 有多少间，住 宿学生有多少人？ 【分析】把“每个房间住 14 人，则空出 4个房间”转化为“每间住 14 人，则少 14 4 56（人）”这样两种方案就可以比较了。 第一种方案多出 34 人，第二种方案少 56 人， 90 2 45（间），学生 数为： 12 45 34 574（人） ［例 2］妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，其余人 每人

分 2 个，则多出 4 个；如果其中一人分 6 人，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？ 【分析】由“其中两人分 4 个，其余每人分 2个，则多出 4个，”转 化为全家每人都分 2个，这分 4 个的两人每人都拿出 2个，共拿出 4 个，结果就多了 4+4=8个：由“一人分 6个，其余每人分 4 个，则缺 少 12 个”转化为全家每人都分 4 个，分 6 个的人拿出 2 个。结果就 少了 12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一半类

型 ,则： 全家的人数： ［4 2 2 （12 2）］ （4 2） 18 2 9 （人） 橘子的个数： 2 9 8 26 （个） 铺垫】实验小学的少先队员去植树。 如果每人种 5 棵还有 3 棵每人 种；如果其中 2 人各种 4 棵。其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完， 问有多少少先队员参加植树，一共 iozhong 多少课树苗？ 【分析】这是一道较难的盈亏问题， 主要难在对第二个已知条件的理 解上：如果其中 2人各种 4 棵，其余的人各种 6棵，就恰好种完，这 组条件中包含着两种种树的情况—— 2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么，就可以 多种树（ 6-4） 2 4 （棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种 5 棵树苗，还有 3 棵没人种 ;如果每人种 6 棵数树苗，还缺 4 棵。问有 多少少先队员，一共种多少树苗？ 人数： [3+（6-4） 2] （6 5） 7（人）， 棵树： 5 7 3 38 （棵）或 6 7 4 38（棵） 【小结】盈亏问

题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象， 而本 题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时， 不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。

【例2】 学校规定上午 8时到校，小明去上学， 如果每分钟走 60 米， 可 提早 10 分钟到校； 如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到 校，求小明几时几分离家刚好 8 时到校？由家到学校的路程 是多少？ 【分析】小明每分钟走 60 米，可提早 10分钟到校， 即到校后还可多 走 60 10 600 米，如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校， 即到校后

还可多走 50 8=400（米），第一种情况比第二种情况 每分钟多走 60-50=10（米），就可以夺走 600-400=200（米）， 从而可以求出

小明由家道校所需时间。 1）10 分钟走多少米？ 60 10 600 （米），

2）8 分钟走多少米？ 50 8 400 （米）

3）需要时间：（600-400） （60 50） 20 （分钟），所以小明 7时 40 分离

家刚好 8 时到校。 4）由家到校的路程： 60 （20 10） 600（米）或 50 （20 8） 600（米）.

铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分 钟；如果每分钟 60 米，就可以比上课时间提前 2 分钟夺走 60-50=10（米），就可以夺走 150+120=270（米），童童从家到 学校所用时间是： 270 10 27 （分钟），加到学校的距离是： 50 （27 3） 50 30 1500 （米）。

例 4 】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算 以下，如果增加一条船，正好每条船作 6 人；跑如果减少一条 船，正好每条船坐 6人。如果减少一条船， 正好每条船坐 9人。 问：这个班共有多少学生

分析】先增加一条船，那么正好每条船坐 6 人。然后去掉两条船， 就会余下 6 2 12 （名）同学。改为每条船 9 人，也就是说， 每条船增加 9-6=3（人），正好可以把余下的 12 名同学全部安 排上去，所以现在还有 12 3 4 （条）船，而全班同学的人数 是 9 4 36 （人）。

【巩固】增加两条船，正好每条船坐 6 人，然后去掉四条船，就会余 下6 4

24（人），改为每只船 9 人 ，即每条船增加 9-6=3（人）， 正好可以把余下的 24 人全部安排上去，所以现在船数为 24 3 8 （条），这个班的人数为 9 8 72（人）。

【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算， 首先需要将一定的条 件转化，使之成为跟第一步分相似的题型，在运用公式计算。

关系互换型的盈亏问题 这种题型中会出现两种物品， 一半两者之间还存在数量关系， 如和差 关系、倍数关系等， 我们应该先利用数量关系将已知条件转化 为一种物品的盈亏关系，再根据盈亏问题的 解法计算。

【例 5】（2004“走进美妙的数学花园”数学邀请赛） 幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒。如果分给小班的小朋友，每人 4 粒。已知大班比 小班少 2 个小朋友这袋糖果共有多少粒？ 【分析】如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了， 变为“每 人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 粒”的盈亏问题。小班有

（16 4） （5

4） 20 （人）。这袋糖果有 4 20 4 84 （粒）。 【拓展】（2007 年湖北省“创新杯”决赛） 四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。

如果买芒果 13 千克，还差 4元;如果买奶糖 15千克，则还剩 2 元。已知每千克芒果比奶糖贵 2 元，那么，，辅导员老师带了 元钱.

［分析］这笔钱买了 13千克芒果还差 4元,若把 13千克芒果换成奶糖就 会

多出 13 2 26元，所以这笔钱买 13 千克奶糖会多出 26-4=22 元。而这笔钱埋 15千克奶糖会多出 2 元，所以每千克奶糖的 价 格 为 ：（ 22-2 ） （15 13） 10 （ 元 ）。 辅 导 老 师 共 带 了 10 15 2

152（元）

【例 6】（2004 南京市少年数学智力冬令营） 甲、 乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量 的信封，甲每封信用 2 张信纸信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段 时间后，甲用完了所有的信封还剩 20 张信封，乙用完所有信纸还 剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？

【分析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸。这是 盈亏问题，盈亏总额为（ 20+30）张信纸，两次分配的差为（ 3-2）张 信纸，所有的信封（ 20+30） （3 2） 50 （个），有信纸 2 50 20 120） （张）

【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一 张信纸，乙写一封信用 3 张信纸。结果甲的信封用完时还剩 50 张信 纸，乙的信纸用完时还剩 50 个信封，原来他们 各自有信封多少个？