南开大学计算机与控制工程学院806运筹学历年考研真题汇编（含部分答案）最新资料，WORD格式，可编辑修改！目录说明：（1）2013年7月，南开大学对信息技术科学学院学科进行优化整合，分别组建计算机与控制工程学院和电子信息与光学工程学院。

（2）2004年和2015年南开大学信息技术科学学院的“运筹学”科目代码不详。

第一部分南开大学806运筹学历年考研真题2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解南开大学2011年硕士研究生入学考试试题学院：034信息技术科学学院 考试科目：813运筹学（信息学院）专业：运筹学与控制论一、（35分）已知某工厂计划生产A 、B 、C 三种产品，备产品均需使用甲、乙、丙这三种设备进行加工，加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时限制数据如下表所示。

试问：（1）应如何安排三种产品的生产使得总利润最大?（2）若另有两种新产品D 、E ，生产单位D 产品需用甲、乙、丙三种设备12小时、5小时、10小时，单位产品利润千元；生产单位E 产品需用甲、乙、丙三种设备4小时、4小时、12小时，单位产品利润千元，请分别回答这两种新产品投产是否合算?（3）若为了增加产量，可租用其他工厂的设备甲，可租用的时间是60小时，租金万元。

请问是否合算?（4）增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?答：（1）设生产A 、B 、C 三种产品的数量分别为x 1，x 2，x 3单位。

则可以得出数学模型：（2）增加新变量x 7，x 8，对应的c 7＝，c 8＝，约束矩阵增加两个列向量[][]125104412T Tαβ==，，，，，11 0 0381225- 1 051041071- 0 14A αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==•=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11 0 018425- 1 041412111- 0 14A ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==•=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 其检验数为：77322.1(3,0,0)10 2.47B c C σσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，77121.87(3,0,0)10.3711B c C σσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则判断出：产品D 的投产不合算，产品E 投产合算。

（3）即[]60,0,0Tb ∆=，其不影响检验数的结果，故最优解不变。

最终单纯形表中’11 0 08386045.5520- 1 0055434403291- 0 14b b A b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∆=+•=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦45.5(3,0,0)55136.5()329B z C b ⎡⎤⎢⎥''==-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦千元， 136.538*322.518z z z '∆=-=-=> 故租用设备甲合算。

（4）当增加乙的工时，1221 0 0838038520- 1 020*********- 0 14b b A b b b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+•∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦238(3,0,0)20114344B z C b b z ⎡⎤⎢⎥''==+∆==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故利润不会增加。

二、（15分）有A 、B 、C 、D 四种零件均可在设备甲或设备乙上加工。

已知这两种设备上分别加工一个零件的费用如下表所示。

又知设备甲或设备乙只要有零件加工就需要设备的启动费用，分别为100元和150元。

现要求加工四种零件各3件，问应如何安排生产使总的费用最小?请建立该问题的线性规划模型（不需求解）。

加工一个零件的费用（单位：元）答：设i ＝1，2，3，4分别表示产品A 、B 、C 、D ；j ＝1，2表示设备甲、乙。

x ij 表示产品i 在设备j 上生产的个数，1000ij ij ij x x δ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，时，，时，41411000ij i j iji δδδ==⎧>⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑，当时，当时则得线性规划模型如下：其中[][]112131411222324250 80 90 40 30 100 50 70, TC X x x x x x x x x == 三、（25分）某工程公司在未来1—4月份内需完成三项工程：第一项工程的工期为1—3月份，总计需劳动力80人月；第二项工程的工期为1—4月份，总计需劳动力100人月；第三项工程的工期为3—4月份，总计需劳动力120人月。

该公司每月可用劳力为80人，但任一项工程上投入的劳动力任一月内不准超过60人。

问该工程公司能否按期完成上述三项工程任务，应如何安排劳力?（请将该问题归结为网络最大流问题求解）答：可以构建如下网络图（弧上数字为最大流量）。

其中，结点1、2、3、4分别代表1、2、3、4月份，结点5、6、7分别代表第一、二、三项工程。

通过标号与调整，得到的最大流如下图所示。

该最大流问题有多重最优解，上图仅给出一种。

所以该公司能按期完成上述三项工程任务，安排劳力的方案可以为：1月份，安排60人做第一项任务、20人做第二项任务；2月份，安排60人做第二项任务；3月份，安排60人做第三项任务、20人做第一项任务；4月份，安排60人做第四项任务、20人做第三项任务。

四、（25分）某工厂设计的一种电子设备由A 、B 、C 三种元件串联而成，已知三种元件的单价分别为2万元、3万元、1万元，单件的可靠性分别为、、，要求设计中使用元件的总费用不超过10万元，问应如何设计使设备的可靠性最大?（请使用动态规划方法求解）答：该题中元件A ，B ，C 是串联在一起的，为保证可靠性，在条件允许的情况下，我们会将多个同种元件并联在一起。

如上图，就是将2件A ，1件B ，3件C 先并联再串联在一起， 由于A ，B ，C 的可靠性分别为，，。

设采用m 个A ，n 个B ，1个C 串联该组合整体的可靠性为 ()()()m n l 1-0.31-0.21-0.4⨯⨯约束条件为 1l n 3m 2≤++且m ，n ，1都为正整数。

由动态规划的思路，我们先从单价高的B 开始分类：由于A ，B ，C 至少都得有1件，故在10万元为限制的前提下，B 最多2件。

选择2件B 时，问题转化为max ()()m l 1-0.30.961-0.4⨯⨯2m l 4+≤由于m 与n 必须都大于0，故此时必然选择1件A ，2件B ，此时可靠性为： ××＝。

选择1件B 时，问题转化为max ()()m l 1-0.30.81-0.4⨯⨯7l m 2≤+此时可以选择1件A ，5件C ；2件A ，3件C ；或者3件A ，1件C 。

同理计算可靠性分别为，，。

故可靠性最大的组合为2件A ，1件B ，3件C ，此时可靠性为。

五、（25分）某公司兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的位置。

设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布，预计船只的平均到达率为3只/天，船只到港后如不能及时装卸，停留一日公司将损失1500元。

现需设计该港口码头的装卸能力（即每日可以装卸的船只数），已知单位装卸能力每日平均生产费用为2000元，问装卸能力为多大时，每天的总支出最少?在此装卸能力之下，求：（1）装卸码头的利用率；（2）船只到港后的平均等候时间?（3）船只到港后总停留时间大于一天的概率。

答：设装卸能力为μ，公司的支出200031500q z L μ=+⨯⨯，q 113L μλμ==--。

则3450020001500200033z μμμμ=+⨯=+--。

令24500932000322z μμμ'=--=0，解得=，或=（舍去）（）。

所以92μ=时，每天的总支出最少。

（1）23λρμ==，021P 1133ρ=-=-=； 所以码头的利用率为1－P 0＝2/3。

（2）2/34W 9/239q ρμλ===--（天） 即船只到港后的平均等候时间是49天。

（3）设船只到港后的总停留时间T ，则T 服从()32μλ-=天的负指数分布。

分布函数为()321,0F eωωω-=-≥；()3/2(1)1(1)=110.223P T P T F e ->=-≤-=≈。

六、（25分）已知A 、B 各自的纯策略及A 的赢得矩阵如下表所示，求双方的最优策略及对策值。

答：在A 的赢得矩阵中第4列优超于第2列，第1列优超于第3列，故可划去第2列和第3列，得到新的赢得矩阵对于1A ，第二行优超于第4行，因此去掉第4行，得到对于2A ，易知无最优纯策略，用线性规划的方法求解，其相应的相互对偶的线性规划模型如下：由最终单纯形表的检验数可知，第一个问题的最优解为： 于是：所以，最优混合策略为：对策的值为84/13V 。

G第二部分南开大学其他学院运筹学历年考研真题2012年南开大学商学院915运筹学考研真题2011年南开大学商学院915运筹学考研真题2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解南开大学2011年硕士研究生入学考试试题学 院：140商学院考试科目：897运筹学（商学院）专业：管理科学与工程一、某厂生产A 、B 两种产品，需经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表1所示．产品B 无论生产批量大小，每件产品生产成本总为400元。

产品A 的生产成本分段线性：第1件至第70件，每件成本为200元；从第71件开始，每件成本为190元。

试建立线性整数规划模型，使该厂生产产品的总利润最大。

（本题共15分）答：设x 1，x 2为产品A 、B 的个数，121x 710x 70δ≥⎧=⎨≤⎩，当，当则建立线性整数规划模型如下：二、现有一个线性规划问题（p 1） maxz 1＝CX其对偶问题的最优解为Y*＝（y 1，y 2，y 3，…，y m ）。

另有一线性规划（p 2）： maxz 2＝CX其中，d ＝（d 1，d 2，…，d m ）T 。

求证：maxz 2≤maxz 1＋Y*d （南开大学2011年研）证：问题1的对偶问题为： 问题2的对偶问题为：易见，问题1的对偶问题与问题2的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题1的对偶问题的最优解()****12,,,m Y y y y =L 一定是问题2的对偶问题的可行解。

令问题2的对偶问题的最优解为*2Y ，则()()****2Y b d Y b d Y b Y d +≤+=+。