设 f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0，6)．
(1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因 f(x)＝a(x－5)2＋6lnx， 故 f′(x)＝2a(x－5)＋6x. 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线 y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点 (0，6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12.
(2)①当－1≤x<1 时，由(1)知，函数 f(x)在[－1，0)和 23，1上单调递减，在0，23上单调递增．
因为 f(－1)＝2，f23＝247，f(0)＝0，所以 f(x)在[－1，1) 上的最大值为 2.
②当 1≤x≤e 时，f(x)＝alnx，当 a≤0 时，f(x)≤0；当 a>0 时，f(x)在[1，e]上单调递增．
解析：(1)由 y＝f′(x)的图象可知，
(－1，
x
0 (0，2) 2 (2，4) 4 (4，5)
0)
f′(x) ＋
0
－
0
＋
0
－
极大
极小
极大
f(x)
Hale Waihona Puke 值值值∴f(2)为 f(x)的极小值，f(2)＝0.
(2)y＝f(x)的图象如图所示：
若函数 y＝f(x)－a 有 4 个零点， 则 a 的取值范围为 1≤a<2. 答案：(1)0 (2)[1，2)
必考部分
第二章
函数、导数及其应用
第十一节 导数的应用
热点命题·突破 课时作业
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
函数的图象与极值的关系
【例 1】 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成 立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x>0)， f′(x)＝x－5＋6x＝（x－2）x（x－3）. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3. 当 0<x<2 或 x>3 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，2)，(3，＋ ∞)上为增函数；当 2<x<3 时，f′(x)<0，故 f(x)在(2，3)上 为减函数．
【解】 (1)当 x<1 时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝23.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
0，23
2 3
23，1
f′(x) －
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
所以当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0)＝0，函数 f(x) 的极大值点为 x＝23.
【小结归纳】 知图判断函数极值的情况．先找导数为 0 的点，再判断
导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.
已知函数 f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表： x －1 0 2 4 5 y 1 2021
f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示．
(1)f(x)的极小值为________； (2)若函数 y＝f(x)－a 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围 为________．
【解析】 ①当 x<－2 时，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0， 即 f(x)在(－∞，－2)上是增函数． ②当－2<x<1 时，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)<0， 即 f(x)在(－2，1)上是减函数．
③当 1<x<2 时，1－x<0. ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0， 即 f(x)在(1，2)上是减函数． ④当 x>2 时，1－x<0. ∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0， 即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数． 综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值． 【答案】 D
求函数的极值
【例 2】 设函数 f(x)＝13x3－ax2－3a2x＋1(a>0)． (1)求 f′(x)的表达式； (2)求函数 f(x)的单调区间、极大值和极小值．
【解】 (1)f′(x)＝x2－2ax－3a2.
(2)令 f′(x)＝x2－2ax－3a2＝0，
得 x＝－a 或 x＝3a.
则当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下表：
所以 f(x)在[1，e]上的最大值为 f(e)＝a. 所以当 a≥2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 a；当 a<2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 2.
由此可知 f(x)在 x＝2 处取得极大值 f(2)＝92＋6ln2，在 x ＝3 处取得极小值 f(3)＝2＋6ln3.
求函数的最值
【例 3】 已知函数 f(x)＝－ alnxx3（＋xx≥2（1x）<1. ）， (1)求 f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求 f(x)在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大 值．
x (－∞，－ －a (－a，3a) 3a (3a，＋∞) a)
f′(x) ＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
53a3＋1
递减
－9a3 ＋1
递增
可知：当 x∈(－∞，－a)时，函数 f(x)为增函数； 当 x∈(3a，＋∞)时，函数 f(x)也为增函数； 当 x∈(－a，3a)时，函数 f(x)为减函数． 当 x＝－a 时，f(x)的极大值为53a3＋1； 当 x＝3a 时，f(x)的极小值为－9a3＋1.
【小结归纳】 求函数 f(x)的极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)解方程 f′(x)
＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x) ＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值.