a
f
在边界点，r = R 时，σr=0, rz 0 ; 由剪应力互
等 zr 0 则边界处满足塑性条件
h
zr r o
r
za ra
2
3
2 zra
s2
R
za s
z
s
2 s
3h
(R r)
7
(3) 接触表面分区情况
由
r rb f zb k
则
zb
s
3f
f k
f f z
rb
（1） f < 0.58，d/h >2[η(f )+1] 三区共存
（2） f < 0.58, 2[η(f)+1]≥d/h≥2 两区共存，常摩擦应力区消失
（3） 当d/h≤2， f为任何值，接触表面只有摩擦应力递减区
（4） f ≥0.58 两区共存,常摩擦系数区消失
9
4） 摩擦应力递减区接触表面压应力分布曲线方程
m 称为摩擦因子，取值0-1
5
（5）其他假设
3.2 圆柱体镦粗
3.2.1 接触表面压应力分布曲线方程
（1） 常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程
{ f f z
d r 2 f z 0
dr
h
d r d z 0
z
z
a
f
zr r
ho
r
d z 2 f z 0
dr
h
在边界点，r=R时，σr=0,
2f
zb s e h (Rrb ) rb d ( f )
h 2h
常 常摩
摩 摩擦
擦 系 数 区
擦 应 力 区
应 力 递 减 区
8
( f ) 1 ln f 3
2f
f
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.58
( f ) 24.42 8.78 4.48 2.66 1.67 1.09 0.71 0.46 0.28 0.14 0.00
ds
d
D+dD
dx
dx
Px N x Tx 0
14
面元ds摩擦力 面元ds摩擦力在轴线上分力
单元体摩擦力在轴线上分力
dx dD
2 tan
dT
e
dx
c os
D d
2
dTx e
dx
c os
D d
2
c os
edx
D d
2
Tx
2 kdx D d kDdx
0
2
1
Tx
2
kDdD
tan
同理
dN
n
dx
cos
D 2
d
dNx n
dx
cos
D d sin
2
n
dx
D 2
d
tan
Nx
2 0
n
D 2
tan ddx
nD tandx
2
n
DdD
15
根据以面投影代替力投影法则，作用在微分球面上法向 压力在水平方向上的投影为
Px
( x
d
x
)
4
(D dD) 2
x
4
D2
4
D(Dd x
2 xdD)
d
P
2 0
z
2 rdr
d
P
1
d2
2
z
0
2 rdr
4
p
0
2f
R
se
h
(Rr)
2rdr
R2 s
1
f 3
d h
p
fd
n
s
1
3
h
p
0 R
s
2 s
3h
(R
r)
2rdr
R2 s
1
3d 9 h
n
p
s
1
3d 9h
P PS
例
将D=20㎜，H=4㎜ 的退火紫铜板冷镦粗 至h=1㎜，已知f =0.2，该料冷变形程度
制
品
（ 定
径
区
）
( b ) 反向挤压
12
3.3.2 棒材单孔挤压时的挤压力公式 （1）定径区
平衡时
xa
4
Da2
f Dala
xa
xa
2 s
la Da
rn f 0.5 s
f
1区
Da
rn
f
la
13
（2）变形区
dx dD
2 tan
e
1 3
s
k
e
dD 2
n
x d x
x
ds dx D d cos 2
d x d y 0
2
轴对称变形
z r
2
3
2 zr
s2
r z s r z 0
d r d z 0
3
f 0, k
(2)力平衡微分方程的简化 平面变形
x yx 0
x y
y
f
yx x ho
3
x
l/2
3
假设
正应力在y轴方向上均匀分布
剪应力在y轴方向上呈线性分布
x d x
x dx
zh
zn
5) 混合分布的单位压力分布方程
f k
f f z
2 f (Rr)
zh se h
rb
R
zn
s
2 s
3h
(R r)
r rb
f
f zb
k, zb
s
3f
zn
s
3f
2 s
3h
(rb
r)
常 常摩
摩 擦 系 数 区
摩 擦 应 力 区
擦 应 力 递 减 区
10
3.2.3 平均单位压力计算公式
2 f r
z Ce h
rz=0 ; 由剪应力互等，
R
z=r 0，则边界处
za ra
2
3
2 zra
s2
za s
2f
(Rr)
z s e h
6
（2） 常摩擦应力区接触表面压应力分布曲线方程
{ f k
d r 2(k ) 0
dr
h
d z 2k 0
dr h
z
z
d r d z 0
根据静力平衡
Px N x Tx 0
4
D(Dd x
2
x dD)
2
n
DdD
2
kDdD 1
tan
0
2 xdD Dd x
2
ndD
2kdD
1
tan
0
近似塑性条件
n x s
Dd x 2 s dD
2 3
s
cot
dD
0
d x 2 s (1
1 cot ) dD
3
D
16
Байду номын сангаас
x 2 s (1
1 cot ) ln D C
为75%时的σs= 500MPa，求镦粗力. 11
3.3 挤压 3.3.1 挤压力及其挤压的四个阶段
P P
填 充
挤压杆
稳
定
过
挤
渡
压
挤
压
终
了
填 充
稳
挤
过
定
渡
挤
压
压 终 了
垫坯 片料
行程
挤 压 筒
未变 形区
变形区
(a) 正向挤压
模
子
垫
片
制 品（
定 径 区 ） 死 区
坯 料
未变 形区
行程
挤压筒 变形区
模 子
yx 2 f
y h
d x 2 f 0
dx h
从变形体上截取分离体 d x h 2 f dx 0
z
f
同理，圆柱体镦粗时r 方向力平衡 微分方程简化为
zr r
ho
r
d r 2 f 0
dr h
R4
(3) 接触表面摩擦规律的简化
f f z f f y
f mk
（4） 变形区几何形状的简化
3
已知条件确定C D Da
x
xa
2 s
la Da
C
2 s
la Da
2 s (1
1 3
cot
)
ln
Da
x 2 s (1
1 cot ) ln
3
D Da
2 s
la Da
xb
s (1
1 3
cot ) ln l
多媒体课件
材料成形力学
主 讲 王平
东北大学 材料与冶金学院
1
第三章 工 程 法
工程法的概念
3.1 工程法简化条件 （1） 屈服准则的简化
y y y
f 0, k
0
x
假设工具与坯料的接触表面为主平面， 或者为最大剪应力平面
平面变形
x y 2 4 2xy K 2
x y 2k
x y 0