2014年上海市高考数学试卷(理科) 一、填空题(共14题,满分56分) 1.(4分)(2014•上海)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是 _________ .
2.(4分)(2014•上海)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•= _________ .
3.(4分)(2014•上海)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 _________ .
4.(4分)(2014•上海)设f(x)=,若f(2)=4,则a的取值范围为 _________ . 5.(4分)(2014•上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 _________ . 6.(4分)(2014•上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 _________ (结果用反三角函数值表示).
7.(4分)(2014•上海)已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ﹣4sinθ)=1,则C与极轴的交点到极点的距离是 _________ .
8.(4分)(2014•上海)设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=(a3+a4+…an),则q= _________ .
9.(4分)(2014•上海)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是 _________ . 10.(4分)(2014•上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 _________ (结果用最简分数表示).
11.(4分)(2014•上海)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b= _________ . 12.(4分)(2014•上海)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3= _________ .
13.(4分)(2014•上海)某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为 _________ .
14.(4分)(2014•上海)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为 _________ . 二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 15.(5分)(2014•上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的( ) 第 2 页 共 9 页
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
16.(5分)(2014•上海)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…8)是上底面上其余的八个点,则•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17.(5分)(2014•上海)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( ) A. 无论k,P1,P2如何,总是无解 B. 无论k,P1,P
2
如何,总有唯一
解 C. 存在k,P1,P2,使之恰有两解 D. 存在k,P1,P2,
使之有无穷多解
18.(5分)(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( ) A. [﹣1,2] B. [﹣1,0] C. [1,2] D. [0,2] 三、解答题(共5题,满分72分) 19.(12分)(2014•上海)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3
的各边长及此三棱锥的体积V.
20.(14分)(2014•上海)设常数a≥0,函数f(x)=. (1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x); (2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由. 第 3 页 共 9 页
21.(14分)(2014•上海)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β. (1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)? (2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).
22.(16分)(2014•上海)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线. (1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔; (2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围; (3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.
23.(16分)(2014•上海)已知数列{an}满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1. (1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围; (2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围. (3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak
的公差. 第 4 页 共 9 页
2014年上海市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、填空题(共14题,满分56分) 1.(4分)(2014•上海)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是 .
2.(4分)(2014•上海)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•= 6 .
3.(4分)(2014•上海)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 . 4.(4分)(2014•上海)设f(x)=,若f(2)=4,则a的取值范围为 (﹣∞,2] .
5.(4分)(2014•上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 2 . 6.(4分)(2014•上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示). 7.(4分)(2014•上海)已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ﹣4sinθ)=1,则C与极轴的交点到极点的距离是 .
8.(4分)(2014•上海)设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=(a3+a4+…an),则q= . 9.(4分)(2014•上海)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是 (0,1) . 10.(4分)(2014•上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示). 11.(4分)(2014•上海)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b= ﹣1 . 12.(4分)(2014•上海)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=
. 13.(4分)(2014•上海)某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为 0.2 .
14.(4分)(2014•上海)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上
的Q使得+=,则m的取值范围为 [2,3] . 二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 15.(5分)(2014•上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非 第 5 页 共 9 页
必要条件 解答: 解:当a=5,b=0时,满足a+b>4,但a>2且b>2不成立,即充分性不成立, 若a>2且b>2,则必有a+b>4,即必要性成立, 故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件, 故选:B. 16.(5分)(2014•上海)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…8)是
上底面上其余的八个点,则•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( ) 解答: 解:如图建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,0,1),P1(1,0,1),P2(0,0,1),P3(2,1,1),P4(1,1,1),P5(0,1,1),P6(2,2,1),P7(1,2,1), P8(0,2,1),
,=(﹣1,0,1),=(﹣2,0,1),=(0,1,1),=(﹣
1,1,1),=(﹣2,1,1),=(0,2,1), =(﹣1,2,1),=(﹣2,2,1), 易得•=1(i=1,2,…,8), ∴•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1, 故选A. 17.(5分)(2014•上海)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( ) 解答: 解:P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜
率存在,
∴k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
, ①×b2﹣②×b1得:(a2b1﹣a1b2)x=b2﹣b1, 即(a2﹣a1)x=b2﹣b1.∴方程组有唯一解. 故选:B.
18.(5分)(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( ) 解答: 解;当a<0时,显然f(0)不是f(x)的最小值, 当a≥0时,f(0)=a2,
由题意得:a2≤x++a≤2+a, 解不等式:a2﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2, ∴0≤a≤2,