《最优控制基础》课程技术报告
报告题目：倒立摆系统的LQR控制器设计与仿真分析专业班级：自动化17-3班
姓名学号：孙添添（2017217640）
评阅成绩：
2020年10月
注意事项
1.按照文中格式书写，不缺项；
2.不抄袭他人报告及成果，数据真实有效；
3.本报告占课程成绩20%，评分标准如下：
书写格式：20%；
设计与仿真：60%；
缺项：20%
4.发现抄袭，一律记0分；
5.报告可打印(双面)或书写，一般不超过15页。
一、引言
倒立摆系统（单极或多极）控制问题的描述，控制系统框架，物理模型，控制要求等。
倒立摆控制系统是一个复杂的、高阶次、多变量、不稳定的、非线性并强耦合系统。
特点是重心在上、支点在下，正是这个特点使倒立摆是控制理论、机器人技术、计算机控制等多种技术、多个领域的有机结合，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
，如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定、跟踪问题等。
因此倒立摆系统作为控制理论教学与科研中典型的物理模型，常被用来检验新的控制理论和算法的正确性及其在实际应用中的有效性。
从 20 世纪 60 年代开始，各国的专家学者对倒立摆系统进行了不懈的研究和探索。
倒立摆特性：倒立摆的形式和结构尽管不同，但却都具有相同的特性。
1非线性：倒立摆虽是一个典型的非线性复杂系统。
但实际可以通过线性化得到系统的近似模型，对线性化之后的系统进行控制，也可以不采用线性化处理，利用非线性控制理论直接对其进行控制，由此倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2不确定性：造成不确定性的因素主要是指模型误差、机械传动间隙和各种阻力等。
实际控制中必修通过减少各种误差来解决问题，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，或利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
3强耦合性：在倒立摆的控制中一般都得先在平衡点附近进行解耦计算，次要的耦合量就可在倒立摆的控制中一般都得先在平衡点附近进行解耦计算，次要的耦合量就可以忽略。
4开环不稳定性：倒立摆的稳定状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
5约束限制：倒立摆系统的约束限制主要是机构限制，如电机力矩限制、运动模块行程限制等。
为降低成本和制造方便，倒立摆的结构尺寸及电机功率都尽量要求最。
倒立摆的控制目标:倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
直线倒立摆控制的目的是:小车和摆组成的系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保持垂直位置不倒。
旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立不倒。
平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在XY平台上摆杆能够竖立稳定而不倒，达到动态平衡状态。
倒立摆的控制方法：倒立摆系统的输入为小车的位移(位置)和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动电机实现倒立摆的实时控制。
电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一
端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力平行于轨道的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平导轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置(竖直向下)。
为了使摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
因此，倒立摆系统的控制原理可简述如下:用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使摆杆倒置稳定于小车正上方。
倒立摆刚开始工作时，首先使小车按摆杆的自由振荡频率摆动，摆杆随之大幅度摆动。
经过几次摆动后，摆杆能自动直立起来。
这种被控量既有角度，又有位置，且它们之间又有关联，具有非线性、时变、多变量耦合的性质。
二、系统模型
运用动力学方法建立系统的状态空间模型。
倒立摆系统的物理模型可以描述为:在光滑水平平面上摆放着滑轨，在滑轨上放置着可以左右自由移动的小车，一根视为刚体的摆杆通过其底端的一个不计摩擦的固定端点与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆可以在平行于滑轨的范围内随意摆动。
倒立摆控制系统的目的是在系统的初始状态不为零时，由设计的控制器对小车作用一个力(控制量)，使小车停在给定位置且倒立摆的摆杆仍然保持竖直向上状态。
当小车静止的情况下，由于受到重力的作用，导摆杆仍然保持竖直向上状态。
当小车静止的情况下，由于受到重力的作用，导致倒立摆的稳定性发生不可逆转的
破坏而使倒立摆无法复位，所以小车在平行小车位移对时间的二阶导数存在线性关系，所以说倒立摆系统是一个非线小车位移对时间的二阶导数存在线性关系，所以说单级倒立摆系统是一个非线性系统。
在各种摩擦忽略不计之后，可将倒立摆系统抽象成小车和均匀质量摆杆组成的系统，倒立摆的结构简图如图下所示。
直线一级倒立摆相关假设量
直线一级倒立摆模型
Φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下)
如下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
直线一级倒立摆模型相关参数
三、控制器设计
设计系统的LQR控制器。
设给定系统的状态方程为义= AX+BU, Y=CX + DU,用y,表示系统的期望输出，从系统的输出端定义e(1)=y r(t) - y(t)为系统的误差向量.线性二次型最优算法即使得基于误差向量e构成的指标函数：
取最小值，其中s,Q均为非负实数,R为rxr半正定矩阵.它们是用来权衡向量e(t)以及
控制向量U(t)在指标函数J中重要程度的加权矩阵。
尽管二次型最优控制理论发展日趋成熟，但在工程实际应用中仍然存在不少问题，一个最关键的问题就是二次型性能指标中加权矩阵Q和R的选取。
Q阵的不同选择，会导致系统品质的明显差异。
Q矩阵各元的大小表示相应状态分量在性能指标中所占的比重，Q也因此被称为状态加权矩阵。
但是其中一元的增大，也就意味着其他权值相对地减少，因此导致的情况就是设计者在追求某一参数性能的同时，却发现其他性能在退化。
所以Q矩阵各元的选取要多方面考虑，使所有的性能都尽可能满足设计者要求。
而Q和R 的选取也要折中考虑，在提高性能和降低控制能量之间选取一个平衡点。
过分强调单一性能而导致系统总体性能下降，是一种得不偿失的做法。
由此也可以看出目前普遍采用的试凑法在决定加权矩阵时的弊端，为了使问题简单及加权矩阵具有比较明显的物
理意义，将二级倒立摆的加权矩阵Q选为对角矩阵即:
四、仿真分析
运用MATLAB分析LQR控制时系统的稳定性等性能指标，并与其他控制方法（如PID控制，极点配置等）进行比较。
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A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;
0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;
0 69.81 -19.17 0 0 0;
0 -34.88 34.06 0 0 0]
B=[0;0;0;1;5.17;-0.0752];
C=[1 0 0 0 0 0 ;
0 1 0 0 0 0;
0 0 1 0 0 0];
D=[0; 0; 0];
Q=[10 0 0 0 0 0;
0 10 0 0 0 0;
0 0 10 0 0 0;
0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0];
R=1;
t=0:0.05:5;
[K,P,r]=lqr(A,B,Q,R)
figure(1);step(A-B*K,B,C,D,1,t);
title('状态反馈后输出曲线');
figure(2);[y,x,t]=step(A-B*K,B,C,D,1,t);
plot(t,x);gtext('STT 2017217')
(图)
PD控制中摆杆的角度与角速度振荡比较厉害，小车位置及速度控制效果较好，而LQR控制中可以比较好地控制住摆杆且响应速度较快、超调量较小，但是控制效果却稍差些。
对于PID控制来说，更容易被人理解，PID控制结构简单,调试方便，易于工程上实现。
而对于LQR控制来说，需要求解Riccati方程，确定Q 和R权矩阵，算法较为复杂，计算代价较高，响应时间较长。
比较两种控制结果都可以稳定的控制二级倒立摆,稳定性很好,但LQR控制的动态性能、快速性比PID控制效果好;PID控制误差较LQR控制大。
给系统加上相同干扰后,系统仍处于稳定状态,PID 和LQR控制都具有一定的抗干扰能力,但LQR控制的抗干扰能力更强,再次说明了设计的有效性。
而且将这两种控制算法用于对
倒立摆的实物控制都取得了很好的效果。
五、结论
倒立摆系统就其本身而言，是一个多变量、快速、严重非线性和绝对不稳定系统，必需采用有效的控制法使之稳定，对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远的意义。
仿真结果表明:控制系统性能优良，稳定性好，具有较强的鲁棒性.由此可见，应用线性二次型最优控制对二级倒立摆平衡系统进行控制能够达到良好的效果，为今后的实验研究奠定了基础.。