第 1 页 （共 5 页）
山 西 师 范 大 学 2010——2011 学 年 第 一 学 期 期 末 考 试 试 题 （卷）
密 封 线 密 封 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 密 封 线
第 2 页 （共 5 页）
二、证明题（每题10分，共20分）
1、证明：T T T
H
S S S
H H P T S P S H H P S T P T ∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎛⎞⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−=−⎜⎟
∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠
1P P P
P P
P P
V V T V T T T S V V T T V T V V S S V
S V V T ⎡⎤⎡⎤
∂∂⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎠⎝⎠⎣
⎦⎣⎦
=∂⎛⎞⎜⎟∂⎝⎠∂⎛⎞−+⎜⎟∂∂⎛⎞⎝⎠==
−
⎜⎟∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎝⎠⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠
P P
P T T V H C V H S ∂∂⎛⎞⎛⎞=
−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠ 2P
P T T V C V H ∂⎛⎞=−⎜⎟∂⎝⎠ 2、证明：因为
V
T V T S S S S dU TdS PdV T dT dV PdV T dT T P dV T V T V ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎛⎞=−=+−=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦
又因 V T
U U dU dT dV T V ∂∂⎛⎞⎛⎞
=+⎜
⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠
比较两式可得： V V V
S U T C T T ∂∂⎛⎞⎛⎞
==⎜
⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠ T T V
U S P T P T P V V T ∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−⎜
⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠
三、（10分）解：理想气体方程：PV RT ν=
第 3 页 （共 5 页）
取偏导数得 V
P R T V ν∂⎛⎞
=⎜⎟∂⎝⎠ 2T V V P RT ν∂⎛⎞=−
⎜⎟∂⎝⎠ P
V R V T P T ν∂⎛⎞==⎜⎟∂⎝⎠ 或由循环关系得 V P
T
P V V
T P T T V ∂⎛⎞
⎜⎟
∂∂⎛⎞⎝⎠=−=⎜⎟∂∂⎛⎞⎝⎠⎜⎟∂⎝⎠
所以 P 1V 1V T T α∂⎛⎞=
=⎜⎟
∂⎝⎠ V 1P R 1P T PV T νβ∂⎛⎞===⎜⎟∂⎝⎠ T 1V 1
V P P
κ∂⎛⎞=−=⎜⎟∂⎝⎠ 或由P ακβ=得 1
P P
ακβ=
= 四、（10分）解：已知相对涨落为：
22
εεε
− ○1
对于自由电子气有两种不同的自旋态，温度为T、能量为ε的一个量子态上的平均电子数为：
()()11
kT f
e εμε−=
+
在体积V 内，能量介于ε——d εε+内的量子态数为
()()11322
2342V g d m d d h πεεεεεε==Α 其中()3
2342V m h
πΑ=
设T=0K 时，电子气动化学势为0μ，可得在T →0K 时每个单粒子态上所占据的电子数： ()1f ε= 0εμ≤ ()0f ε= ε＞0μ
所以，总粒子数为：
()()()00
13
2
200
2
3
N f g d g d d μμεεεεεεεμ∞
===Α=Α∫∫∫
总能量为：
第 4 页 （共 5 页）
()()()00
3
5
2
2000
23
55
s f g d g d d N μμεεεεεεεεεεμμ∞
===Α=Α=∫∫∫
T=0K 时，电子的平均能量为：03
5
εμ=
○2 同时又有：
()()()00
5
7
2
2
2
22
2000
23
77
f g d g d d N μμεεεεεεεεεεμμ∞
===Α=Α=∫∫∫
T=0K 时，能量平方的平均值为：2
2
037
εμ=
○3 综上所述，联立○1○2○3三式可得T=0K 时自由电子气中一个电子能量的涨落为：
2
22
εεε−22
00
20397250.19925
μμμ−== 五、（15分）解：气体分子的能量为 ()2221
2x y z P P P mgz m
ε=
+++ 分子的配分函数为
()2223
1
exp 2x y z x y z Z P P P mgz dP dP dP dxdydz h m ββ⎡⎤=
−++−⎢⎥⎣⎦
∫∫∫∫∫∫ =()3
230
1exp exp 2h
x x A
P dP dxdy mgz dz h m ββ+∞
−∞⎡⎤⎛⎞
−−⎢⎥⎜
⎟⎝⎠⎣⎦
∫∫∫∫
=()3/23121exp kT mgh mkT A h mg kT π⎡⎤
⎛⎞−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦
气体的内能和热容量分别为：
()
/521mgh kT Inz Nmgh
U N NkT e β∂=−=−∂− ()
2
/2
/521mgh kT V mgh kT mgh e C Nk Nk kT e ⎛⎞
=−⎜⎟⎝⎠−
第 5 页 （共 5 页）
六、（15分）解：粒子的能量动量关系为2
P 2m
ε=，
系统的配分函数为
N
E i i i ix iy iz 3N
i 1
1
Z e dx dy dz dp dp dp N !h β∞
−−∞
==
⋅⋅⋅∏∫∫
2
2
2
2
ix iy iz P P P P N
N
N
N
2m
2m
ix iy iz ix iy iz 3N 3N i 1i 1V
V e dp dp dp e dp dp dp N!h N!h ββ++∞∞−−−∞−∞
==⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
∏∏∫
∫2
ix 3N 3
3N
P N
N
N
N
2
2m
ix 3N
3N
2i 1V
V V 2m e dp N!h N!h N!h βπβ∞−−∞=⎡⎤⎛⎛⎞=
=⋅=⋅⎢⎥⎜⎜⎟⎜⎝⎠
⎢⎥⎝⎣
⎦
∏∫所以 ln Z 3
U N K T 2
β∂=−
=∂
1ln Z N K T P V V β∂=
=
∂ 故 2
PV U 3
=。