第一章 三角形的证明
1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形（二）
课前预习
1. 等边三角形的三个内角都____相__等____，并且每个角都 等于____6_0_°____. 2. 等边三角形的边长为2，则它的周长为_____6_____. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是
（A） A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角等边△ABC剪去一个角后，则
∠1+∠2的大小为
（D ）
A. 120° B. 180° C. 200°
D. 240°
课后作业
4. 如图1-1-24，D是等边△ABC的边AC上一点，E是等
边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE的形
状是
（B）
A. 等腰三角形
课后作业
夯实基础
新知 等边三角形的性质定理
1. 在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的
平分线长等于
（ C）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
2. 如图1-1-22,在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
则∠APE的度数是 A. 45° B. 55°
（C ）
C. 60° D. 75°
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
课后作业
5. 如图1-1-25，已知等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC. （1）求BD的长； （2）求△ABC的面积.
解：（1）∵等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，且BD= BC=1. （2）在Rt△ABD中， AD=AB2-BD2 = 3， 则S△ABC= BC·AD= ×2× 3 = 3
8. 如图1-1-28，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AC，
连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数.
解：∵在等边△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD= ∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°.
课堂讲练
新知 等边三角形的性质定理
典型例题
【例1】如图1-1-19，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2=
（ C）
A. 60° B. 90°
C. 120°
D. 180°
课堂讲练
【例2】如图1-1-20，在等边△ABC中，AN=BM， 求证： （1）△BMC≌△ANB； （2）∠MOB=∠ACB.
课堂讲练
课后作业
6. 已知：如图1-1-26，在等边△ABC中，D是AC中点， 过点C作CE∥AB，且AE⊥CE. 求证：BD=AE. 证明：∵在等边△ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠E. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE.
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE.
证明：（1）∵在等边△ABC中，AN=BM， ∴AB=BC，∠A=∠CBM.
∵在△BMC和△ANB中，
∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°.
课堂讲练
课后作业
9. 如图1-1-29，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角 ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角 两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN. 探究线段BM， MN，NC之间的关系，并加以证明.
课后作业
解：MN=BM+NC. 理由如下. 如答图1-1-3，延长AC至点E，使得CE=BM（或延长AB至点E，使 得BE=CN），并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°. 又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°. ∴∠MBD=∠ECD=90°.
模拟演练
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 50°
D. 60°
2. 如图1-1-21，等边△ABC中，∠1=∠2=∠3.
（1）求证：DE=EF=DF；
（2）求∠BEC的度数.
课堂讲练
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, AB=BC=AC. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠CAF=∠ABD=∠ECB. ∴△ADB≌△BEC≌△CFA. ∴AD=BE=CF,BD=CE=AF. ∴DE=EF=DF. （2）解：由（1）可知△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=∠DEF=∠EDF=60°. ∵∠BEC=∠FDE+∠EFD， ∴∠BEC=120°.
课后作业
能力提升
7. 如图1-1-27所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，
点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD
交于点F，连接FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG.
其中正确结论的个数为
（ D）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
课后作业
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）. ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. ∵∠BDC=120°,∠BDM=∠CDE, ∴∠MDE=120°-∠BDM+∠CDE=120°. 又∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°. ∴∠MDN=∠NDE.∴△DMN≌△DEN（SAS）.