一、 引言
金融市场中的交易品种可以是基本资产，例如，股票、债券或一种货币。交 易品种也可以是价格可从其他基本资产的价格间接衍生出的资产，此时，该交易 品种的资产即为金融衍生产品， 它所涉及的资产则称为标的资产。 金融衍生产品 的投资回报是由标的资产的价格决定的。由于，标的资产的种类有很多，因此， 在金融市场中，就形成了很多不同的金融衍生品，期权就是最基本的一种。期权 是一种持有者在到期时能以某一固定的执行价格购买或售出某种标的资产的权 力。而且这种权力是一种选择权，因此，期权持有者不负有必须购买或售出的义 务。也就是说，买方可以灵活选择是否执行。 按照不同的分类方法， 期权可以分为看涨期权和看跌期权，也可以分为欧式 期权和美式期权。除了欧式和美式这两种标准期权外，还有一些特殊期权，我们 称之为新型期权。 新型期权是比标准期权更复杂的金融衍生产品。 比较常见的有 双向期权，障碍期权，回望期权，混合期权，交换期权和亚式期权等。 期权定价是期权研究的核心问题之一， 也是金融领域数学应用最复杂的问题 之一。经典的 Black -Scholes 公式是期权定价的核心，它建立在有效市场的假 设上，即股票价格的波动相互独立，服从几何布朗运动，其对数收益率独立同分 布。但是对股票市场的大量研究表明，股票价格呈现出“尖峰肥尾”的特征，并 不符合对数正态分布，并且存在长期相依性，所以经典的 Black -Scholes 模型 不能够刻画这些性质。 1994 年， E.E.Peter 提出了分形市场假说， HuY， ksendal， ElliottR.J 和 VanderHoekJ 等建立了分数布朗运动下的随机积分以及相应的公 式，使模型更符合现实股价的运动特征。
三、分数布朗运动下新型期权的定价
（一）交换期权在分数布朗运动下的定价 所谓交换期权，是指假设投资者已经持有某种股票 B，如果投资者预测未来 另一股票 A 比股票 B 的表现更好，投资者就会想办法把股票 B 换成换成股票 A， 聪明的投资者就会购买一份交换期权来达到他的目的。可见，在到期日 T，该份
交换期权的收益为 max S������ ������ − ������������ ������ , 0 ，其中，S������ ������ 、������������ ������ 分别表示股票 A 和股票 B 在到期日 T 的价格。 这里的股票也可以是其他标的资产，可见，交换期权区别于标准期权的本质 特点是交换期权有两个标的资产，期权购买者有权在一定时间内，按照合约规定 的条件将一种资产转换成另外一种资产。 显然，在到期日 T，交换期权的收益结构为 ������ S1 T , ������2 T = S1 T − ������2 T S1 T > ������2 T 0 其它
������
������2 ������ ������������ ������(−������2 )
1 2 2 (������1 ������ − ������2 ������ )������������ + (������1 − ������2 )(������ 2������ − ������ 2������ ) /(������1 2
性质 5 对 H>2 ，������������ (t)有长期依赖性，即：若令 r(n)=E[������������ (1)(������������ (n+1)-������������ (n))]，则有
1
Hale Waihona Puke ������ = ∞；性质 6 对 H>2 ，������������ (t)有自相似性，即：若 a>0，则(������������ (at),t≥ 0)和 (������������ ������������ (t),t≥ 0)，具有相同的概率分布，其中(������������ (t),t≥ 0)是标准分数布朗运 动。 （二）分数伊藤公式 设������������ = ������ (S������ , ������)，V 是二元可微函数。若随机过程S������ 满足 dS������ = ������ S������ ������������ + ������S������ ������������������ ，则 dV������ =
������������ ������������ ������������
������������ + ������������ ������������������������ + ������������������������������ + 2 ������������ 2 2H������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ + ������������ ������������ + ������������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ 2 ������������ + ������������ ������������ ������������������
������ ������
= S1 t ������������������ − 其中 d = ������������ ������2 ������ + ������1 ������
������ ������
������
������1 ������ ������������ ������ −������1 − ������2 t ������������������ −
������������ ������������
������������
������ 2 ������
������������
证明：把������������ = ������ (S������ ,t)泰勒展开，有 dV������ =
1
������������ + ������������ ������������������ + 2 ������������ 2 (������������������ )2 + ������(������������������S������ ) + ������
2������
������������
1 ������ 2 ������
由于������������ ������, ������ = 2 ( ������
2������
− ������ − ������
2������
)，则 E[������������ ]2 = ������ 2������ ，
即(dB������ )2 近似为 2H������ 2������−1 ，所以 (������������������ )2 = (������������������������ + ������������������������������ )2 = μ2 ������������ 2 ������������ 2 + ������ 2 ������ 2 ������������������ 2 + 2������������������ 2 ������������������������������ = 2H������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ + ������(������������) 从而得到 DV������ = =
性质 3 性质 4
������������ = ������������ (������)������≥0 是高斯过程，E������������ 2 = ������ 2 ； ������������ = ������������ (������)������≥0 有连续轨线；
1 +∞ ������ =1 ������
其它其中S1 T , ������2 T 分别表示标的资产S1 , ������2 在到期日 T 时的价格，且分别 服从几何分数布朗运动，即
������������������ (������ ) ������������ (������ )
= ������������ ������ − ������������ ������ ������������ + ������������ ������ ������������������ ������
������������ ������������
+ ������������ ������������ + ������������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ 2 ������������ + ������������ ������������ ������������������
������ = 1,2，
其中������������ ������ 和������������ ������ 分别表示资产������ 的期望报酬率和报酬率的标准差，������������ ������ 为红 利率。通过推导，本文得出如下结论： 设无风险利率 r(t)为非随机函数，考虑红利支付，在假设资产价格服从几 何分数布朗运动的条件下，交换期权在t ∈ 0, ������ 时刻的定价公式为 ������ S1 t , ������2 t , ������
2������
)的连续高
Hurst 指数 H(0<H<)的分数布朗运动，记为
������������ = ������������ (������)������≥0 。如果 H=2，那么������������ = ������������ (������)������≥0 就是标准的布朗运动 B(t)。 由这一定义得到分数布朗运动������������ = ������������ (������)������≥0 有下列性质： 性质 1B������ (0)=0，E[������������ (t)]=0 对于所有 t≥0 成立； 性质 2 ������������ = ������������ (������)������≥0 是平稳增量过程；