专题8:导数(文)
经典例题剖析
考点一:求导公式。
例1. ()f x '是3
1()213
f x x x =
++的导函数,则(1)f '-的值是 。
解析:()2'2
+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3
考点二:导数的几何意义。
例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1
22
y x =
+,则(1)(1)f f '+= 。
解析:因为21=k ,所以()211'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为2
5,所以()2
5
1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3
例3.曲线3
2
242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。
解析:443'2--=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x
点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三:导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线C:x x x y 232
3
+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C相切于点
()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。
解析: 直线过原点,则()000
≠=
x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 230200
0+-=x x x y 。
又263'2
+-=x x y ,∴ﻩ在()00,y x 处
曲
线
C
的
切
线
斜
率
为
()2
63'02
00+-==x x x f k ,
∴ﻩ2632302
002
0+-=+-x x x x ,整理得:03200=-x x ,解得:2
30=
x 或00=x (舍),此时,830-=y ,4
1-=k 。
所以,直线l 的方程为x y 41
-=,切点坐标是
⎪⎭
⎫
⎝⎛-83,23。
答案:直线l 的方程为x y 41-
=,切点坐标是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在
切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。
考点四:函数的单调性。
例5.已知()132
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。
解析:函数()x f 的导数为()163'2
-+=x ax x f 。
对于R x ∈都有()0'<x f 时,()
x f 为减函数。
由()R x x ax ∈<-+01632
可得⎩
⎨⎧<+=∆<012360
a a ,解得3-<a 。
所以,
当3-<a 时,函数()x f 对R x ∈为减函数。
(1) 当3-=a 时,()983131333
23+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=+-+-=x x x x x f 。
由函数3
x y =在R 上的单调性,可知当3-=a 是,函数()x f 对R x ∈为减函数。
(2) 当3->a 时,函数()x f 在R上存在增区间。
所以,当3->a 时,函数()x f 在
R上不是单调递减函数。
综合(1)(2)(3)可知3-≤a 。
答案:3-≤a
点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题,要有求导意识。
考点五:函数的极值。
例6. 设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
(1)求a、b 的值;
(2)若对于任意的[03]x ∈,
,都有2
()f x c <成立,求c的取值范围。
解析:(1)2
()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有
(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩,
.
,解得3a =-,4b =。
(2)由(Ⅰ)可知,3
2
()29128f x x x x c =-++,2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。
当(01)x ∈,时,()0f x '>;当(12)x ∈,时,()0f x '<;当(23)x ∈,时,()0f x '>。
所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+。
则当[]03x ∈,时,
()f x 的最大值为(3)98f c =+。
因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立,
所以 2
98c c +<,解得 1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(1)
(9)-∞-+∞,,。
答案:(1)3a =-,4b =;(2)(1)
(9)-∞-+∞,,。
点评:本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
考点六:函数的最值。
例7. 已知a 为实数,()()
()a x x x f --=42。
求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求()
x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
解析:(1)()a x ax x x f 442
3
+--=,∴
()423'2--=ax x x f 。
(2)()04231'=-+=-a f ,2
1=
∴a 。
()()()14343'2
+-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3
4
=x , 则()x f 和()x f '在区间[]
2,2-
()2
91=
-f ,275034-=⎪⎭⎫
⎝⎛f 。
所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为
275034-=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ,最小
值为()2
91=
-f 。
答案:(1)()423'2
--=ax x x f ;(2)最大值为275034-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f ,最小值为()2
91=-f 。
点评:本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七:导数的综合性问题。
例8. 设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线
670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
解析: (1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33
ax bx c ax bx c --+=---
∴0c =,∵2
'()3f x ax b =+的最小值为12-,∴12b =-,又直线670x y --=的斜率为
1
6
,因此,'(1)36f a b =+=-,∴2a =,12b =-,0c =.
(2)3
()212f x x x =-。
2'()6126(f x x x x =-=+-,列表如下:
所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞,∵(1)10f -=,
f =-,(3)18f =,∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =,最小值是
f =-
答案:(1)2a =,12b =-,0c =;(2)最大值是(3)18f =,最小值是f =- 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。