实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。
二、典型题型1. 数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25 或36D. -25 或-362. 传播问题：公式：（a+x）n=M 其中a 为传染源（一般a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数例3 、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3. 相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题1 n（n-1），双循环问题n（n-1）.2例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90 场比赛，共有多少个队参加比赛？66，请问参加例5 、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手会议的人数共有多少人？例6 、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1 件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A. x x 1 182B. x x 1 182C. 2x x 1 182D. x x 1 182 2练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手, 所有人共握手15 次, 有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4. 平均增长率问题：b=a（1 ±x）n，n 为增长或降低次数, b 为最后产量，a为基数，x 为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2 月份开始涨价，3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率。
例8 、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5 升．问每次倒出溶液的升数？3. （2018·宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020 年初计划利润达到507万元. 设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（）A. 300 （1＋x）＝507B. 300（1＋x）2＝507C. 300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507D. 300＋300（1＋x）＋300（1＋x）2＝5074. （2017·无锡改编）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1 月份到3 月份，该店销售额平均每月的增长率是Ｗ.5. （2018·沈阳）某公司今年1 月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元.假设该公司2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4 月份该公司的生产成本.6. （宜昌中考题）某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015 年的销售量为9.5 万份，平均每份获利1.9 元，预计以后四年每年销售量按5 000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014 年底就投入资金10.89 万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求.B 品牌产销线2015 年的销售量为1.8 万份，平均每份获利3 元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2 倍逐年递增.这样，2016 年A，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017 年销售获利恰好等于当初的投入资金数.（1）求A 品牌产销线2018 年的销售量；（2）求B 品牌产销线2016 年平均每份获利增长的百分数.7. （2018·安顺）某地2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015 年的基础上增加投入资金1 600 万元.（1）从2015年到2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户（含第1 000 户）每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5 元，按租房400 天计算，求2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.5. 商品销售问题例9、某商店购进一种商品，进价30 元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价X（元）满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？例10、益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5 吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元。
（1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000 元。
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？请说明理由。
2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克. 现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？3. 某商店原来平均每天可销售某种商品160 件，每件盈利30 元，为了减少库存，经市场调查，这种商品每件降价1 元，那么每天可多售出10件，若要平均每天盈利5 200 元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x 元，则所列方程是（）A. （160＋x）（30＋x）＝5 200B. （160＋10x）（30－x）＝5 200C. （160＋10x）（30＋x）＝5 200D. （160＋x）（30＋10x）＝5 2004.. 某商店以每件16 元的价格购进一批商品，物价局规定，每件商品的利润不得超过30%.若每件商品售价定为x元，则可卖出（170－5x）件，商店预期要盈利280 元，那么每件商品的售价应定为（）A. 20 元B. 20.8 元C. 20 元或30 元D. 30 元5. （2018 秋·南京秦淮区期中）某商店经销的某种商品，每件成本为30 元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10 件，则售价上涨多少元时，该商店可盈利1 560 元？设这种商品的售价上涨x 元，根据题意，可列方程为.6. （2018 秋·常州期中）国庆期间，某游乐园为了增加收入，进行了市场调研.调研发现，如果票价定为每张30元，那么1 200 张门票可全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30 张.要使门票总收入达到36 750元，票价应该定为多少元？7. （2017·铜仁改编）某商店以20 元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.要使销售利润达到800 元，销售单价应定为每千克（）A. 40 元B.60 元C. 40 元或60 元D. 20 元或80 元8. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3 元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5 元.要使每盆的盈利达到10 元，每盆应该植株.9. （安顺中考题）天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：27 某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用000 元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？10. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200 元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1 间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20 元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了x 元.（1）填表（不需化简）：（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14 000 元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入－维护费用）11. （2017·重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年至少收获樱桃多少千克；（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100 千克，销售均价为30 元/ 千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20 元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m% ，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值.12. 某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27 万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元. （1）若该公司当月售出3 辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12 万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利＝销售利润＋返利）18. （10分）（2018·德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30 万元，经过市场调研发现，每台售价为40 万元时，年销售量为600 台；每台售价为45 万元时，年销售量为550 台.假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系.（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70 万元，如果该公司想获得10 000 万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？6. 形积问题例 11、如图，在宽 20米，长 32 米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 （ 两条纵 向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直 ） ，把这块耕地分成大小相等的六块试 验田，要使试验田的面积是 570 平方米，问道路应该多宽 ?例 12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为 4cm 的小正方形，再折起来做 成一个无盖的小 盒子。