课时作业(六十二)
一、选择题
1．在(ax －1)7
展开式中含x 4
项的系数为－35，则a 为( ) A ．±1 B ．－1 C ．－12
D ．±1
2
答案 A
解析 由通项公式可得C 73
(ax )4
(－1)3
＝－35x 4
，∴C 73a 4
(－1)3
＝－35，∴a 4
＝1，∴a ＝±1. 2．在(1＋x )5
＋(1＋x )6
＋(1＋x )7
的展开式中，x 4
的系数是通项公式为a n ＝3n －5的数列的( )
A ．第20项
B ．第18项
C ．第11项
D ．第3项
答案 A
解析 ∵x 4
的系数是
C 54
＋C 64
＋C 74
＝C 51
＋C 62
＋C 73
＝5＋15＋35＝55， 则由a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.
3．在(x ＋1)(2x ＋1)……(nx ＋1)(n ∈N *
)的展开式中一次项系数为( ) A ．C n 2
B ．
C n ＋12
C ．C n
n －1
D.12
C n ＋13 答案 B
解析 1＋2＋3＋…＋n ＝
n ·n ＋1
2
＝C n ＋12
4．设(5x －x )n
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3
项的系数为( )
A ．500
B ．－500
C ．150
D ．－150
答案 C
解析 N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2
， ∴(2n )2－2n ＝240,2n
＝16，n ＝4. 展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C 4r ·(5x )4－r
·(－x )r
＝(－1)r
·C 4r
·5
4－r
·x 4－r
2
.
令4－r
2
＝3，即r ＝2，此时C 42
·52
·(－1)2
＝150.
5．如果(x 2
－12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系
数之和是( )
A ．0
B ．256
C ．64 D.1
64
答案 D
解析 解法一 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
C n 3
>C n
4
C n 3>C n
2
，
∴5<n <7，∵n ∈N *
，∴n ＝6. 令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝1
64
.
解法二 由题意知，只有第4项的二项式系数最大，∴n ＝6， 令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝1
64
.
6．(2011·广东珠海)二项展开式(2x －1)10
中x 的奇次幂项的系数之和为( ) A.1＋3
10
2
B.1－310
2
C.310
－12
D ．－1＋310
2
答案 B
解析 设(2x －1)10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 10x 10
，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310
＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3
10
2
，故选B.
7．已知(1－2)10＝a ＋2b (a ，b 为有理数)，则a 2－2b 2
＝( ) A ．(1－2)20
B ．0
C ．－1
D ．1
答案 D
解析 在二项式(a ＋b )n 与(a －b )n
的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，根据这个特点，当(1－2)10
＝a ＋2b 时，必有(1＋2)10
＝a －2b ，故a 2
－2b 2
＝(a ＋2b )(a －2b )＝(1－2)10
(1＋2)10＝1.
二、填空题
8．(x ＋2)10
(x 2
－1)的展开式中x 10
的系数为________． 答案 179
解析 (x ＋2)10
(x 2
－1)＝x 2
(x ＋2)10
－(x ＋2)10
本题求x 10
的系数，只要求(x ＋2)10
展开式中x 8
及x 10
的系数T r ＋1＝C 10r x
10－r
· 2r
取r ＝2，r ＝0得x 8的系数为C 102×22
＝180；
x 10的系数为C 100＝1，
∴所求系数为180－1＝179.
9．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n
的展开式中x 的一次项的系数，则32
a 2＋33
a 3＋…＋3
18
a 18
的
值为____________．
答案 17 解析 由通项C n r 3n －r
(－1)r
x r
2
知，展开式中x 的一次项的系数为a n ＝C n 23
n －2
，所以32a 2＋33
a 3
＋…
＋318
a 18
＝32
(21×2＋22×3＋23×4＋…＋217×18
)＝17. 10．(2010·湖北卷，理)在(x ＋43y )20
的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 答案 6
解析 注意到二项式(x ＋
4
3y )20
的展开式的通项是T r ＋1＝c 20r ·x
20－r
·(
4
3y )r
＝
C 20r ·3r 4
·x 20－r ·y r .当r ＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x ＋4
3y )20的
展开式中，系数是有理数的项共有6项．
11．(2011·安徽江南十校)a 4(x ＋1)4
＋a 3(x ＋1)3
＋a 2(x ＋1)2
＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4
，则a 3－
a 2＋a 1＝________.
答案 －14
解析 [(x ＋1)－1]4
＝a 4(x ＋1)4
＋a 3(x ＋1)3
＋a 2(x ＋1)2
＋a 1(x ＋1)＋a 0，∴a 3－a 2＋a 1＝(－C 41
)－C 42
＋(－C 43
)＝－14.
12．(1－3a ＋2b )5
展开式中不含b 项的系数之和是________． 答案 －32
解析 令a ＝1，b ＝0，即得不含b 项的系数和(1－3)5
＝－32. 三、解答题
13．二项式(1＋sin x )n
的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为5
2
，求x 在[0,2π]内的值． 答案
π6或5π
6
解析 二项式(1＋sin x )n
的展开式中，末尾两项的系数之和C n
n －1
＋C n n
＝1＋n ＝7，∴n ＝6，
系数最大的项为第4项，T 4＝C 63(sin x )3＝52，∴(sin x )3
＝18
，
∴sin x ＝12，又x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或5
6
π.
14．设(2－3x )100
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 100x 100
求下列各式的值： (1)a 0；
(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；
(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2
－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2
. 解析 (1)(2－3x )100展开式中的常数项为 C 1000
·2100
，即a 0＝2100，或令x ＝0， 则展开式可化为a 0＝2100
.
(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100
① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100
－2100
. (3)令x ＝－1，
可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100
② 与x ＝1所得到的①联立相减可得
a 1＋a 3＋…＋a 99＝
2－3
100
－2＋3
100
2
.
(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋
a 99)]
＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100
(2＋3)100
＝1.。