数理方程基于MATLAB 的问题分析报告一、问题的提出、背景、意义振动是指物体经过它的平衡位置所作的往复运动或某一物理量在其平衡值附近的来回变动。
而波动则是一种能量传播的方式。
虽然形式不同，但是两者的联系十分紧密，振动是波动的根源，波动是振动的传播形式。
因此在分析问题乃至实际操作中，往往是把两者放在一起分析的，首先讨论振动的各方面特性，这样就相当于已知了波动一点上的相应特性，再对波动进行分析时，就只用讨论距离的影响了。
一般来说，振动只受时间影响，加上距离的参数，最终波动就只受两个变量影响，而且也知道了它们是无关的，就可以使用分离变量法进行求解。
弦振动是波动的一类特殊形式，它在音乐物理学、材料学、地理学、物质分析学等许多领域都得到了应用，而弦振动所属声学又是力学的一个非常独立的分支，因此它在各领域的作用几乎是不可取代的。
由于近年来的各方面硬件设施和软件的发展，曾经停止发展很长一段时间的对弦振动的分析又开始体现出它独特的优势。
在产生音乐的过程中，琴弦的振动是很常见的一种方式，本文就将对琴弦振动进行一定的研究，通过对弦振动方程的理解，给出不同初始条件，并分析出琴弦不同地方产生波的特性，再用MATLAB做好程序，画出相应的图像，经比较后得到琴弦的拨发与产生声音的联系。
二、问题分析思路2.1建立偏微分方程分析一根琴弦的振动问题，通过针对具体要分析的问题，可以列出弦振动方程以及初始条件2,0,0(0,)0,(,)0(,0)(),(,0)()tt xxtu a u x L tu t u L tu x x u x xϕ⎧=<<>⎪==⎨⎪==ψ⎩（L为弦的长度，因为是两端固定的弦，初始条件一定有(0,)0,(,)0u t u L t==），用分离变量法很容易求得它相应的解，即弦振动的函数。
2.2对琴弦参数的求解已知常量T=128N，普通钢琴弦密度37.9/g cmρ=，根据琴弦传播速度公式v=v。
2.3 求解对象由弦振动的函数可以得到弦上不同点的振动情况。
随机选取几个点，得到它们的振动情况，并比较。
2.4作图方法通过MATLAB仿真出不同点的图像，比较图像的幅值周期等参数。
（开始考虑到有两种方式，一种直接通过上一个步骤求出的解使用简单的MATLAB命令画出图，另一种则是通过MATLAB解方程后再画出相应的图像，事实上第一种MATLAB是做不到的，于是用第二种）2.5 仿真结果仿真出弦振动的频谱图，即以频率和振幅为横纵坐标的图，得到不同频率与振幅的关系，对图可以进行一系列的分析，得到相应的结果。
2.6方程解的现实意义由于琴弦振动实际意义，我们将弦振动的实际音效也用MATLAB做出来了，这样更能直观的体会到琴弦振动条件不同带来的影响。
但是发出的声音不如实际生活那么和谐美妙（缺少腔体等音乐元件）。
三、具体求解步骤3.1标准齐次弦振动的求解如前文所提，对于这样一个标准的齐次弦振动问题，分离变量法是我们主要所采取的解题方法。
设方程具有的解的形式为：u（x,t）=T(t)X(x)（3-1）将变量t与变量x分离开后，代入原方程，得到：2T X a TX ''''= （3-2）2T X a T X''''= （3-3） 令：2T X a T Xλ''''==- （3-4） 此时，得到两个常微分方程：0X X λ''+= （3-5）20T a T λ''+=， （3-6）代入边界条件，得到：T(t)X(0)=0,T(t)X(L)=0 （3-7）由于(,)0u x t ≡不是我们需要的解，对T （t ）不能恒为0，所以对于X （x ），我们可以得到：(0)()0X X L == （3-8）这样一来，我们可以得到常微分方程0X x λ''+=满足边界条件(0)()0X X L ==的平凡解。
当0λ≤时，原方程的边值问题就只有零解。
当0λ>时，原方程的通解为：22n 2n =Lπλ()X x A B =+ （3-9） 代入边界条件，得：(0)100X A B =+= （3-10）()0X L A B =+=20n T a T λ''+= （3-11）解得的结果为,A=0,sin 0B =。
为了使X （x ）不恒为0，应有0B ≠，亦即0=,1,2,3n n π==…… 则：22n 2n =Lπλ （3-12） 相应的特征函数为()sinn n n x X x B Lπ=，其中Bn 为任意非零常数，对应每一个特征值方程20n T a T λ''+=的解是 ()cos sin n n n n at n at T t C D L L ππ=+()cos sin n n n n at n at T t C D L Lππ=+ （3-13） 其中，Cn,Dn 为任意常数。
我们得到原方程一系列特解为：(,)()()cos sin sin n n n n n n at n at n x u x t T t X x C D L L L πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（3-14） 为了求出满足的解，我们将(,)u x t 作傅立叶拓展，把每一项(,)n u x t 全部叠加起来，则：1(,)cos sin sin n n n n at n at n x u x t C D L L L πππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （3-15） 为了确定系数Cn ，Dn ，将方程代入初始条件，得11(,0)()sin ,(,0)()sin n t n n n n x n a n x u x x C u x x D L L L πππϕ∞∞=====ψ=∑∑ （3-16） 之后即可解出Cn ，Dn ：02()sin ,L n n C d n N L Lπεϕεε=∈⎰ （3-17） 02()sin ,L n n D d n N n a L πξψξξπ=∈⎰ （3-18） 3.2实际弦振动的求解对于第二节一开始提出的一维实际琴弦振荡问题，我们将实际参数代入公式中。
这里，取a v ==考虑到弦乐器的常见技法就是拨弦，拨弦即用手指把琴弦拨离平衡位置。
使其振动发声。
这相当于在X=a 处把弦拉高到高度h ，然后松开，使其自由振动，即弦振动的初始位移不为零而初速度为零。
(1)假设在琴弦的正中间拨弦，则a=L/2，取值为434mm ，拨弦高度h 为4mm 。
可以得到：40434434()4(868)434868434x x x x x ϕ⎧≤≤⎪⎪⎨-⎪≤≤⎪⎩ ()0x ψ=那么，此时的波动方程表达式为：221321(,)sin sin cos 2n n n n a u x t x t n L L ππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ （3-19）X 为坐标，t 为时间，如果我们取弦上三个具有代表性的点，根据琴弦的对称性，就可以大致了解整个弦的振动情况；为此，我们不妨选取x=L/6,x=L/3,x=L/2三个点作为特征点。
此时，分别令x=L/6,x=L/3,x=L/2，代入（3-19），有：1221321(,)sin sin cos 26n n n n a u x t t n L ππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ （3-20） 2221321(,)sin sin cos 23n n n n a u x t t n L ππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑（3-21） 3221321(,)sin sin cos 22n n n n a u x t t n L ππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑（3-22） （2）若不是在琴弦的正中间拨弦，是在a=L/3处拨弦，则此时的波动方程为：221361(,)sin sin cos 2n n n n a u x t x t n L L ππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ （3-23）仅仅是最前端系数发生变化，不影响我们对问题的研究。
故仅取a=L/2即可。
3.3琴弦特征点的图像下面依照（3-20）-（3-22）的表达式作出对应的图像当a取L/6时当a取L/3时当a取L/2时3.4琴弦特征点图像的分析综合上面三张图可以得到：相同点：三张图都并不是想象中那种较为正常的正弦波波形，主要是因为其函数就是2个sin和一个cos函数相乘得到的。
仔细观察还可以得到，三张图的周期，即频率都是一样的，这与已知到的弦振动物理驻波方面的知识相符。
知道上面的直观结论后，可以进一步实验得到，在整条弦上，每一个点的振动都是非正弦且周期的，振动过程中都有一部分极大值是相同的。
不同点：1/6弦长处的平均振幅最小，且波峰最大值持续时间长，1/2弦长处的的平均振幅最大，且波峰最大值持续时间短，1/3弦长处则是处于中间。
在多做实验可以进一步得到，越靠近弦端点处，振幅越小，波峰最大值持续时间越长，声音越容易浑厚低沉；越靠近中点处振幅越大，波峰最大值持续时间越短，声音越容易高亢嘹亮，可见幅值响应对于不同的点是不同的。
3.5琴弦振动问题的结论及现实意义事实上，振幅越大的地方在物理意义就是此时音量比较大，综合以上分析，在拨弦的时候若拨动点越靠近中点，则产生音量越大。
另一方面，对于不同拨弦点，其频率基本是一致的，这也与实际比较吻合，因为对琴弦乐器，改变音调（即频率）的方法就是换一根更长（或更短）的琴弦拨动。
3.6 琴弦问题的反思及延伸利用matlab程序，我们较好地解决了一维琴弦振动问题，但是我们并不能满足于此。
因为我们既然已经画出了这根琴弦的振动图像，相当于将该琴弦振动情况完全模拟了出来。
与此相关，我们甚至可以求出它振动的频率，找到它的音调，再予以分析。
但由于能力有限，我们找不到合适的方法来分析该琴弦振动的频谱，只能止步于此。
四、遇到的困难及解决方法4.1遇到的困难我们本次课程设计遇到了如下困难：（1）如何选择合适的题目（2）如何表示求和的表达式（3）如何实现图像的对比（4）动态图的画法4.2解决方法（1）对于题目的选择，我们经过多次讨论后决定对某一根琴弦振动情况进行分析，为了更具科学性，选取不同的拨弦点。
（2）对求和表达式，引入for循环和即可解决。
（3）为了在不同情况中进行清楚的对比，需要对坐标轴参数进行设定。
（4）对于动态图，查阅资料后，用组合函数的方式予以解决。
五、总结及心得体会5.1总结本次通过matlab程序解决波动方程，我们看到了一根琴弦振动时各点的真实情况，一来加深了我们对方程本身的认识，二来使我们看到了方程更直观，更形象的解的实际情况，实在是获益匪浅。