2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（二）
一、选择题：每小题10分，共40分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题
目要求。

1. 3
lim
→x cos (x−2)x−2
= （ ）
A. 1
B. cos 1
C. 0
D. π
答案：B 解读：3
lim
→x cos (x−2)x−2
=cos (3−2)3−2
=cos1
2. 设函数y=x 2+1, 则dy
dx =（ ） A. 1
3
x 3 B. x 2 C. 2x D. x
2
答案：C
3. 设函数f (x )=cos x , 则f ’( π
2)= （ ）
A.−1
B. −1
2 C. 0 D. 1 答案：A
解读：()12sin 2,sin -=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛'-='ππf x x f
4. 下列区间为函数f (x )=sin x 的单调增区间的是（ ）
A. (0,π2
) B. (π
2
,π) C. (π2,3
2
π) D. (0, 2π)
答案：A
5. ∫x 2dx =（ ）
A. 3x 3+C
B. x 3+C
C.
x 33
+C D. x
2+C
答案：C
解读：由基本积分公式C x a dx x a a ++=
+⎰
1
1
1可得 6. ∫1
1+x dx = （ ）
A. e 1+x +C
B. 1
1+x +C C. x +C D. ln|1+x|+C 答案：D
解读：
()C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰1ln 11111
7. 设函数z=ln(x+y), 则∂z
∂x |(1,1)=（ ）
A. 0
B. 1
2 C. ln2 D. 1
答案：B
解读：∂z
∂x =1
x+y ,将1,1==y x 代入，∂z
∂x |(1,1)=1
2
8. 曲线y=√4−x 2与x 轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A. 2
B. 4
C. 2π
D. 4π
答案：C
解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x 轴上方的半圆，
也可用定积分的几何意义来做
9. 设函数z =e x
+y 2
, 则22z
x
∂=∂（ ）
A. 2y
B. e x +2y
C. e x +y 2
D. e x
答案：D
解读：x
e x
z =∂∂，x e x z =∂∂22
10. 设事件A,B 互不相容, P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(A+B)=（ ）
A. 0.44
B. 0.5
C. 0.1
D. 0.06
答案：B
解读：因为A ，B 互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.5
二、填空题：每小题4分，共40分. 11. 1
lim
→x x 2+x+2x 2−3
=.
答案：2- 解读：1
lim →x x 2+x+2x 2−3
=
12+1+212−3
=−2
12. lim
x →0
sin 2x 3x
=.
答案：
3
2 解读：==→→x
x x x x x x x 32lim 32sin lim 022sin 0等价无穷小替换和2
3
13. 设函数f(x)={x 2+1,x <0
a +x,x ≥0在x=0处连续,则a=.
答案：1
解读：()()1,lim lim ,11lim lim 0
2
=∴=+==+=→→→→+-a a x a x f x x f x x x x
14. 曲线y=x 3+3x 的拐点坐标为.
答案：（0，0）
解读：0,06,332
===''+='x x y x y ，将0=x 代入y ，0=y ，所以拐点为()0,0
15. 设函数f (x )=cos x , 则f ’’(x)=. 答案：cos x -
解读：()()x x f x x f cos ,sin -''-='
16. 曲线y=sin(x+1)在点(-1,0)处的切线斜率为.
答案：1
解读：()1cos +='x y ，10cos 1=='=-=x y k 17. ∫2xe x 2
dx = .
答案：e x 2+C
解读：C e
dx e dx xe x x x +==⎰
⎰2
2
2
2
2
18. ∫cosxdx 1
0=. 答案：sin1
解读：
1sin 0sin 1sin sin cos 1
01
=-==⎰
x xdx
19. ∫e
−x
+∞0
dx =.
答案：1
解读：
()()
100
=--=-=--=∞-+∞-+∞-+∞
-⎰⎰
e e e x d e dx e x
x x
20. 设函数z=x 3e y , 则全微分dz=.
答案：3x 2e y dx +x 3e y dy
解读：
y e x x z 23=∂∂，y e x y z 3=∂∂，=dz +
∂∂dx x
z
dy y z ∂∂ 三、解答题：共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

21. 计算0
lim
→x e x −1x
答案： 0
lim
→x e x −1x
=0lim
→x e x
1
=1
22. 计算∫
lnx x
dx .
答案：∫
lnx x
dx =∫lnxd(lnx)=1
2(lnx)2+C 23. 计算∫
lnx x
dx .
答案：∫
lnx x
dx =∫lnxd(lnx)=1
2(lnx)2+C
24. 计算∫xcosxdx.
解读：∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx= xsinx+cosx+C
25. 已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9, 记X为他两次独立投篮投中的次数.
（1）求X的概率分布
（2）求X的数学期望EX
解读：（1）x可能的取值是0,1,2
P(x=0)=0,1×0.1=0.01
P(x=1)=2×0.9×0.1=0.18
P(x=2)=0.9×0.9=0.81
因此x的概率分布为
（2）数学期望EX=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8
26. 求函数f(x)=x3−3x−2的单调区间和极值.
解读：()x f'=3x2-3，令()x f'=0, 得驻点x1=-1, x2=1
因此f(x)的单调增区间是(-∞,−1), (1,+∞)。

单调减区间为(-1,1)
f(x)极大值为f(-1)=0,极小值为f(1)=-4
27. 已知函数f(x)=−x 2+2x ：
（1）求曲线y=f(x)与x 轴所围成的平面图形的面积S 。

（2）求(1)中平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V. 解读：（1）由{y =−x 2+2x
y =0得交点坐标为(0,0),(2,0)
S=∫(−x 2+2x)2
0dx =（−x 3
3+x 2）|02=4
3
（2）V=∫π(−x 2+2x)22
0dx =π∫(x 4−4x 3+4x 2)dx 2
0=π(1
5
x 5−x 4+4
3
x 3)|02=16
15
π
28. 求二元函数f(x, y)=x 2+y 2+2y 的极值.（2012年） 解读：{f x ’(x,y)=2x
f y ′(x,y )=2y +2，令{f x ’(x,y)=0f y ′(x,y )=0 得驻点（0，−1）
因为f xx ′′(x,y)=2, f xy ′′(x,y)=0, f yy ′′(x,y)=2
所以A =f xx ′′(0,−1)=2, B =f xy ′′(0,−1)=0, C =f yy ′′(0,−1)=2
由于A>0且B 2−AC <0,故f(x,y)在点（0，−1）处取得极小值，极小值f(0, −1)= −1。