2019-2020学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题）1.命题“x R ∀∈，22340x x -+≥”的否定为 （） A. x R ∀∈，22340x x -+< B. x R ∀∈，22340x x -+≤ C. x R ∃∈，22340x x -+< D. x R ∃∈，22340x x -+≤【答案】C 【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：根据全称命题的否定为特称命题，故命题“x R ∀∈，22340x x -+≥”的否定为x R ∃∈，22340x x -+<． 故选：C ．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题． 2.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之当直线与双曲线只有一个公共点时除了直线与双曲线相切，还有就是直线和双曲线的渐近线平行的时候；故是充分不必要条件． 故答案为A ．3.椭圆22143y x +=的焦点坐标为（） A. ()1,0-，()1,0 B. ()2,0-，()2,0 C. ()0,2-，()0,2 D. ()0,1-，()0,1【答案】D【分析】利用椭圆的方程求出a ，b ，得到c 即可求解结果．【详解】解：椭圆22143y x +=，焦点在y 轴上，可得2a =，b =1c =，所以椭圆的焦点坐标()0,1±． 故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 4.抛物线24y x =-的焦点坐标是（）A. ()10，B. ()10-，C. ()20，D. ()20-，【答案】B根据抛物线的标准方程为24y x =-画出图像可得准线方程为：1,x =故焦点坐标为()10-，. 故答案为B ．5.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )B. 6D. 12【答案】C 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线的倾斜角为60︒，且与椭圆2215x y +=有相等的焦距，则C 的方程为 （）A. 2213x y -=B. 22193x y -=C. 2213y x -=D.22139x y -= 【答案】C 【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有ba=b =，求出椭圆的半焦距，分析可得224a b +=，解可得2a 、2b 的值，将2a 、2b 的值代入双曲线的方程，即可得答案．【详解】解：根据题意，双曲线C ：22221x y a b-=的焦点在x 轴上，其渐近线方程为b y x a =±，若其一条渐近线的倾斜角为60︒，则该渐近线的方程为y =，则有ba=b =， 椭圆2215x y +=中，2514c =-=，若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有224a b +=， 解可得21a =，23b =，则双曲线的方程为2213y x -=；故选：C ．【点睛】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题．7.已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<u u u u r u u u u r，则0y 的取值范围是（ ）A. (B. (C. ()33-D.( 【答案】A由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r =0000(,),)x y x y -⋅-=2220003310x y y +-=-<，解得033y -<<，故选A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【此处有视频，请去附件查看】8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.y x = 【答案】C 【分析】首先由题意确定点P 的坐标，然后列方程确定a,b 的值即可确定渐近线方程. 【详解】∵抛物线24y x =的焦点坐标F(1,0)，p=2， 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p=2c ，即c=1，设P(m,n)，由抛物线定义知：53||1,222p PF m m m =+=+=∴=. ∴P点的坐标为3,2⎛⎝. 222219614a b a b ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，解得：122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.则渐近线方程为by x a=±=. 故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题共6小题）9.命题：“2,10x R x ax ∃∈-+<”的否定为____． 【答案】2,10x R x ax ∀∈-+≥ 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“210x R x ax ∃∈-+<，”的否定是“210x R x ax ∀∈-+≥，”. 故答案为∀x ∈R ，x 2﹣ax +1≥0【点睛】本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查． 10.对于常数m 、n ，“0mn >”是方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”的__________． 【答案】必要不充分条件因为0m n =>时，221mx ny +=表示圆，所以“方程“221mx ny +=曲线是椭圆””推不出方程“方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”，当方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”时，能推出0mn >，所以应该填必要不充分条件.11.已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，则椭圆的离心率为______． 【答案】14【分析】利用已知条件列出方程组，求解a 、c ，得到椭圆的离心率．【详解】解：椭圆G 的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，246c a c =⎧⎨-=⎩，解得8a =，2c =， 所以椭圆的离心率为：14c e a ==． 故答案为：14． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．12.已知点(32)M ，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为_______． 【答案】()2,2 【分析】设点M 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义把问题转化为求|PM |+|PD |的最小值，同时可推断出当D ，P ，M 三点共线时|PM |+|PD |最小，答案可得．【详解】设点M 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PD | ∴要求|PM |+|PF |的最小值，即求|PM |+|PD |的最小值，只有当D ，P ，M 三点共线时|PM |+|PD |最小，此时P 纵坐标为2，则横坐标为2 故答案为：()2,2【点睛】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题． 13.已知倾斜角为α的直线l 经过抛物线24y x =的焦点交抛物线于A 、B 两点，并且4AF BF =，则cos α=______．【答案】35± 【分析】考虑角α为锐角，设A 、B 两点在准线上的射影分别为C 、.D 过B 作BM AC ⊥于.M 则有AC AF =，BD BF =．设44AF BF m ==，则3.AM m =，35AM cos AB α==，同理由α为钝角得出3cos 5α=-，综上可得出答案.【详解】解：若角α锐角，如图，设A 、B 两点在准线上的射影分别为C 、D ． 过B 作BM AC ⊥于.M 则有AC AF =，BD BF = 设44AF BF m ==，则3AM m =．则35AM cos AB α==． 若角α为钝角，由对称性可知3cos 5α=-. 因此，3cos 5α=±. 故答案为：35±． 【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题．14.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且PH =，则PFH ∆的面积为______．【答案】4± 【分析】设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．【详解】解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，22214t PH t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由52PH =，可得2840t t -+=， 解得423t =±． 则PFH ∆的面积为124232t ⨯⨯=± 故答案为：423±【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题）15.（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；（2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是y 轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）210x y =或210x y =-【分析】（1）设出椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得a ，c ，求得b ，可得所求方程；（2）设抛物线的方程为2x ty =，0t ≠，由焦点到准线的距离解得t ，可得所求方程．【详解】解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得24a =，即2a =，22c =，即1c =，b ==则椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设抛物线的方程为2x ty =，0t ≠， 焦点到准线的距离为5，可得152t =，即10t =±， 则抛物线的标准方程为210x y =或210x y =-．【点睛】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.已知椭圆C ：222210x y a b a b+=>>（），其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,1M （）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点M 恰为线段AB 的中点，求直线l的方程．【答案】（1）22132x y +=（2）直线l 的方程为2350x y +-=【分析】（1）根据椭圆的几何性质求得a =b =（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k ，从而求得直线l 方程．【详解】解：（1）椭圆C c a ∴=，223a c =222222a b c b c =+∴=Q ，即b =Q椭圆C 的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，bc ∴=2=1c ∴=，从而得a =b =∴椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）显然，直线l 的斜率存在，设该斜率k ， 直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =+-， 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得：()()()22232613160k x k k x k ++-+--=且该方程显然有二不等根，记A ，B 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，1212x x +=Q，即122x x +=， ()261232k k k -∴=+，解得23k =-， ∴所求直线l 的方程为2350x y +-=．【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．17.已知抛物线C ：22y px =经过点2,2P （），A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若OA OB ⊥，求AOB V 面积的最小值．【答案】（1）抛物线C 的方程为22y x =．焦点坐标为1,02（），准线方程为12x =-（2）面积的最小值为4 【分析】（1）根据题意，将P 的坐标代入抛物线的方程，可得p 的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；（2）直线AB 的方程为x ty a =+，与抛物线的方程联立，可得2220y ty a --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，结合OA OB ⊥，结合根与系数的关系分析可得22121204y y y y +=，进而可得AOB V 面积的表达式，分析可得答案．【详解】解：（1）由抛物线C ：22y px =经过点()2,2P 知44p =，解得1p =．则抛物线C 的方程为22y x =．抛物线C 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ty a =+， 由22x ty a y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y t +=，122y y a =-．因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=，解得120y y =（舍去）或124y y =-． 所以2 4.a -=-解得2a =． 所以直线AB ：2x ty =+．所以直线AB 过定点2,0（）．121242AOB S y y =⨯⨯-==≥=V ．当且仅当12y =，22y =-或12y =-，22y =时，等号成立． 所以AOB ∆面积的最小值为4．【点睛】本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程，属于中档题．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,2，一个焦点为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求AB PQ的取值范围．【答案】（1）椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）AB PQ的取值范围为(4,．【详解】试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,2，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得c =，可得221314a b+=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1),{1,4y k x x y =-+=得，2222(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得PQ 的长，这样就得AB PQ的取值范围．试题详细分析：（1）由题意得2222=3,{131,4a b a b -+=解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=．（2）由22(1),{1,4y k x x y =-+=得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k-++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为．于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又222222844(1)[()4]1414k k AB k k k -=+-⋅++224(1)(13)k k ++=．于是，22222224(1)(13)1321444311114k k AB k k k PQ k k k ++++===-++++． 因为0k ≠，所以221331k<-<+．所以AB PQ 的取值范围为(4,43)． 考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．19.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足0m ≠，且3m ≠±. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若BME V 面积是AMF V 面积的5倍，求m 的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）1m =±. 【分析】（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（Ⅱ）由题意得到直线AM,BM 的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F 的坐标结合题意即可得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值.【详解】（Ⅰ）由题意可得：22222c e a AB b a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆的方程为2214x y += .（Ⅱ）()()10,1,0,1,,2A B M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m=， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m =-，由221,411,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140m x mx +-=， ∴240,1mx x m ==+，∴22241,11m m E m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120m x mx +-=， ∴2120,9mx x m ==+，∴222129,99m m F m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∵11sin sin 22AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME ∆∆=∠=∠，，AMF BME ∠=∠， 5AMF BME S S =V V ，∴5MA MF MB ME =，∴5MA MB MEMF=∴22541219m m m mm m m m =--++ ∵0m ≠，且m ≠∴整理方程得21m =， ∴1m =±为所求.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。