0 0 0 2 2 B AB A B b a22b rank a22b 2 0 a32b a32 (a22 a33 )b
系统不可控
上世纪70-80年代，控制领域内已有很多关于结构可 控性的研究结果
C.T.Lin, Structural Controllability，IEEE Trans.on AC, 19(3):201-208, 1974 R.W. Shields, J.B.Pearson, Structural Controllability of Multiinput Linear Systems, IEEE Trans.on AC, 21(2):203-212, 1976 K. Glover, L. M. Silverman, Characterization of Structural Controllability, IEEE Trans.on AC, 21(4):534-537, 1976 C.T.Lin, System Structure and Minimal Structure Controllability, IEEE Trans.on AC, 22(5):855-862, 1977 S.Hosoe, K.Matsumoto, On the Irreducibility Condition in the Structural Controllability Theorem, IEEE Trans.on AC, 24(6):963-966, 1979 H.Mayeda, On Structural Controllability Theorem, IEEE Trans.on AC, 26(3):795-798, 1981 A.Linnemann, A Further Simplification in the Proof of the Structural Controllability Theorem, IEEE Trans.on AC, 31(7):638-639, 1986
结构可控性
在工作点线性化可得到线性方程
1 a11 x1 x 2 a21 x1 a22 x2 x 3 x a32 x2 a33 x3 bu
a11 A a21 0 0 a22 a32 0 0 a33 0 B b 0

S1 S2 S3
大系统模型简化
针对给定要求降低高价模型的阶次（信息集结） 时域方法 — 精确集结和模态集结：保留系统主特征值 — — 链式集结：保留系统与输出联系最直接的状态 奇异摄动：实现系统快慢时标的分离
频域方法 — Pade近似：实现低频拟合 — — 连分式法：实现高、低频拟合 Routh近似：保留稳定系统的稳定性
大系统理论中的动态系统结构分析
h1 h2
q in
f (h ) h 1 1 1 f (h , h , q ) h in 2 2 1 2
h3
f (h , h ) h 3 3 2 3
F (T ) T 1 1 1
T1
热风 冷风
Q
T2
T3
F (T , T , Q) T 2 2 1 2 F (T , T ) T 3 3 2 3
三角或块三角 单方向影响
× × × × × × 0 0 0 × 0 0 × 0 ×
对角加行 主-从式关系
大系统结构分解举例
建立邻接矩阵 利用可达矩阵找出回路
② ③ ⑧ ⑦
①
④
⑤
⑥
把回路压缩成节点组成集结 矩阵 调整行列得到下三角结构阵
x4
u4
可达性
x1 x2 x3 x4 x5 u1 × u2 × Rux u3 0 u4 × × × × × × × × × × 0 0 0 × × × ×
秩条件
× × S × × × × × 0 × 0 × 0 × × × × 0 0 0 × 0 0 0 ×
①④⑤ ②③⑧⑨ ⑥⑦⑩
把同一回路的节点归并在一起
把回路集结成节点，分析回路 之间关系
0 0 0 A 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1. 系统是输入可达的，即 Rux 无全零列 2.
=n gr A B
对于该例
0 0 A 0 0 0 B 0
Rux 0 × ×
x1 不可达
系统不可控
u1 x1
u2 x2
u3 x5
利用可达矩阵找出回路
× 0 0 × × T RR 0 0 0 0 0 0 0 × × 0 0 0 0 0 × × 0 0 0 0 × × 0 × × 0 0 0 0 × × 0 0 0 × × 0 0 0 0 0 0 0 × × 0 0 0 0 0 0 0 0 0 × × 0 0 × 0 0 0 0 × × 0 0 × × × 0 0 0 0 × × 0 × × 0 0 0 0 × × 0 0 0 0 0 × × 0 0 ×
经典大系统理论和方法的特点
理论：现代控制理论对高维问题的延伸 — 以线性系统理论为主要研究内容 — — 保持了现代控制理论精细、定量的研究特色 更像是高维多变量或关联系统的控制理论
方法：解决高维性和信息不完全性的思路 — 宏观分析方法：处理复杂结构 — — — 信息集结方法：纵向处理高维性 分解协调方法：横向处理高维性 利用局部信息的控制方法：处理信息不完全性
代数判据
C. T. Lin, IEEE TAC.,19(3):201-208, 1974 K. Glover and L. M. Silverman, IEEE TAC,21(4):534-537, 1976. M.Morari, G.Stephanopoulos, AlChE Journal, 26(2):232-246, 1980
网络科学工具与控制理论的结合将有助 于精确和解析地探索复杂网络可控性的 许多问题
经典大系统理论的 主要研究内容
以线性系统控制理论为主，研究： 大系统结构分析 模型简化 递阶控制 分散控制 大系统稳定性分析 重点克服高维性和信息不完全性带来的困难
大系统结构分析
针对由大量单元组成的系统，从宏观层面研究大系统静 态和动态结构特征 大系统的拓扑关系及分解方法 — 已形成了系统关联描述及结构分解的成熟方法 — 只解决“有”、“无”问题，不考虑关联强弱 动态大系统的结构性质 — 动态系统结构可控性、可观性的判断 — 主要针对线性系统理论进行结构化延伸
1 f1 ( x3 , x4 , u1 ) x 2 f 2 ( x3 , x5 , u3 , u4 ) x 3 f3 ( x3 , x4 , u4 ) x 4 f 4 ( x3 , x4 , u1 , u2 ) x 5 f5 ( x3 , u1 , u4 ) x
x3
A B 5 gr
结论：该系统结构可控
图论判据
结构可控
(A,b) 构成仙人掌(cactus)
C.T.Lin, Structural Controllability，IEEE Trans.on AC, 19(3):201-208, 1974
推广到类仙人掌(G-cactus)
K.Li, Y.Xi, G-Cactus and New Results on Structural Controllability of Composite Systems, Int.J.System Science, 27(12):1313-1326, 1996
大系统理论相关成果与复 杂网络研究的关系
大系统结构分解
目的：把复杂大系统分解为子系统，从 宏观上把握系统的组成特点并且 给出子系统间的有序影响关系
如何描述系统结构？
结构矩阵：反映系统各单元间的因果关系 有向图表示 邻接矩阵表示
① ② ③ ④
①
②
① ② ③
③
④
④
0 0 × 0
× × 0 0 × 0 0 0 0 × 0 0
几种典型结构
× × × × × × × × × × × × × × × × × ×
对角或块对角 完全可分解
Байду номын сангаас
× × × ×
经典大系统理论 与复杂网络
席裕庚
上海交通大学自动化系 系统控制与信息处理教育部重点实验室
2012年10月13日
主要内容
1. 思考的起因：复杂网络结构可控性 2. 经典大系统理论的主要研究内容 3. 大系统理论相关成果与复杂网络研究 的关系 4. 几点思考
思考的起因: 复杂网络结构可控性
Hopcroft, J. E.& Karp, R. M. An n5/2 algorithm for maximum matchings in bipartite graphs. SIAM J. Comput. 2, 225–231 (1973).
⑨
⑩
邻接矩阵
0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 A B 0 0 0
0 × × 0 × 0 0 0 0 × 0 × 0 0 × × 0 × × 0 0 0 0 × 0 × × 0 × × 0 0 0 × 0 0 × 0 0 ×