第一章 集合和命题1. 集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性； 集合常用大写字母A 、B 、C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然 数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、-R ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集； 规定空集不含元素，记作∅；集合的表示方法常用列举法和描述法； 将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；2. 集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊆，读作“A 包含于B”或“B 包含A”； 空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ⊆，不要遗漏∅=A 的情况；对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ；用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图； 对于两个集合A 和B ，如果B A ⊆且A B ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；对于两个集合A 和B ，如果B A ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠⊂或A B ≠⊂，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”；对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠≠≠⊂⊂⊂；3. 集合的运算一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ；由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ；在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ∉∈=,|德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=；C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；4. 命题可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，记作βα⇒，读作“α推出β”，换言之，表示以α为条件、β为结论的命题是真命题； 如果βα⇒，并且αβ⇒，那么记作βα⇔，叫做α与β等价；推出关系满足传递性：βα⇒，γβ⇒，那么γα⇒； 一个数学命题用条件α，结论β表示就是“如果α，那么β”，如果把结论和条件互相交换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，这个命题叫做原命题的逆命题；一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果 把α、β的否定分别记作α、β，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是“如果α，那么β”；如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就 可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果α，那么β”；如果A 、B 是两个命题，B A ⇒，A B ⇒，那么A 、B 叫做等价命题； 原命题与逆否命题是等价命题；不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p 或q ，p 且q ，非p ；一些常用结论的否定形式：5. 充要条件一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出β也成立，即βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；一般地，用α、β分别表示两个命题，如果既有βα⇒，又有αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，这时我们就说，α是α的充分必要条件，简称充要条件；设具有性质p 的对象组成集合A ，具有性质q 的对象组成集合B ,则 ① 若B A ⊆，则p 是q 的充分条件；② 若B A ≠⊂，则p 是q 的充分非必要条件；③ 若B A ⊇，则p 是q 的必要条件； ④ 若B A ≠⊃，则p 是q 的必要非充分条件；⑤ 若B A =，则p,q 互为充要条件；等价关系： “q p ⇒”⇔“B A ⊆”⇔“A B A = ”⇔“A B A = ”⇔“A C B C U U ⊆”⇔“∅=B C A U ” ⇔U B A C U = （注意考虑∅=A 的情况）；第二章 不等式1. 不等式的基本性质性质1 如果b a >,c b >那么c a >； 性质2 如果b a >，那么c b c a +>+；性质3 如果b a >，0>c ，那么bc ac >；如果b a >，0<c ，那么bc ac <； 性质4 如果b a >,d c >，那么d b c a +>+； 性质5 如果0>>b a ,0>>d c ，那么bd ac >； 性质6 如果0>>b a ，那么ba 110<<性质7 如果0>>b a ，那么n n b a >（*N ∈n ）；性质8 如果0>>b a ，那么n n b a >（*N ∈n ，1>n )；不等式的解法（1）一元二次不等式对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是02>++c bx ax 或02<++c bx ax ()0≠a ； 一般地，设一元二次不等式为02>++c bx ax 或02<++c bx ax ()0>a ，当对应的一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式∆042>-=ac b 时，先求出方程02=++c bx ax 的两个实数根21,x x (不妨设21x x <)，于是不等式02>++c bx ax 的解集为{}21|x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为{}21|x x x x <<； 不等式的解集经常用区间来表示，设a ,b 都为实数，并且b a <，我们规定：① 集合{}b x a x ≤≤|叫做闭区间，表示为[]b a ,； ② 集合{}b x a x <<|叫做开区间，表示为()b a ,；③ 集合{}b x a x <≤|或{}b x a x ≤<|叫做半开半闭区间，分别表示为[a ,b )或(a ,b ]； ④实数集R 表示为()+∞∞-,，集合{}a x x ≥|、{}a x x >|、{}b x x ≤|和{}b x x <|分别用区间[)∞+a 、()∞+a 、(]b ,∞-和()b ,∞-表示；a 与b 也叫做区间的端点，“∞+”读作“正无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”前面讨论的是判别式的情形，当∆0<时，抛物线()02>++=a c bx ax y 与x 轴没有交点，整个图像都在x 轴的上方，于是不等式02>++c bx ax 的解集为实数集R ，不等式02<++c bx ax 的解集为空集∅；当∆0=时，抛物线()02>++=a c bx ax y 与x 轴两个交点重合，即ab x x 221-==， 除了这一个点外，抛物线的其余部分都在x 轴的上方，于是不等式02>++c bx ax 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22,a b a b ，不等式02<++c bx ax 的解集为空集∅；（2）高次不等式高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：① 等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积；（未知数系数一定是正数） ② 把各因式的根标在数轴上；③ 从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集； 如图：()()()0321≥---x x x x x x （假设321x x x <<）的解为[][)+∞∈,,321x x x x（3）分式不等式 型如()()0>x x f ϕ(或0≥)或()()0<x x f ϕ(或0≤)（其中()x f 、()x ϕ为整式且()0≠x ϕ）的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式； ()()()()00>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ，()()()()00<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ()()()()）（或）（或0000≤≥⋅⇔≤>x x f x x f ϕϕ，()()()()00<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ且()0≠x ϕ（4）含绝对值不等式x 表示实数x 在数轴上所对应的点到原点的距离；所以，不等式()0><a a x 的解集为()a a ,-，类似地，不等式()0>>a a x 的解集为()()+∞-∞-,,a a解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，一般有如下方法： ①定义法；②零点分段法；③平方法；④数形结合法； 绝对值不等式的性质：b a b a b a +≤±≤-（5）无理不等式只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，关键是转化为有理不等式；()()()0≥⇔>x f x g x f ，()0≥x g ，()()x g x f >；()()()0≥⇔>x f x g x f ，()0≥x g ，()()[]2x g x f >或()()0,0<≥x g x f ；（6）指数对数不等式解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数； ①当1>a 时，()()()()x g x f a a x g x f >⇔>， ()()()()0log log >>⇔>x g x f x g x f a a ； 当10<<a 时，()()()()x g x f a a x g x f <⇔>， ()()()()x g x f x g x f a a <<⇔>0log log3.基本不等式 基本不等式1 对任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立； 基本不等式2对任意正数a 和b ，有ab ba ≥+2，当且仅当b a =时等号成立； 推论1 若a ,b ,c +∈R ，则abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时等号成立；推论2 若a ,b ,c +∈R ，则33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==时等号成立； 推论3nn n a a a na a a ⋯≥+⋯++2111，∈n N*，+∈R a i ，n i ≤≤1均值不等式之ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+，+∈R b a ,；柯西不等式()()()22222bd ad d c b a +≥++；注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；4. 不等式的证明 （1）比较法要证明b a >，只要证明0>-b a ，同样，要证明b a <，只要证明0<-b a ，这种证明不等式的方法叫做比较法；用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立；（2）分析法从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立，这种证明方法叫做分析法；（3）综合法从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这 种方法叫做综合法；（4）放缩法在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之和变小（或变大)，或把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法；（5）换元法根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法； （6）判别式法根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判别式的取值范围来证明不等式；（7）分解法按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或式），使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，然后各个击破，从而证明不等式的一种方法；（8）反证法 （9）数学归纳法第三章 函数的基本性质1.函数概念与运算 （1）函数概念在某个变化过程中有两个变量x ,y ，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则y f ,都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；求函数定义域时，主要考虑以下因素：①分母不为零；②偶次方根号内大于等于零；③真数大于零；④实际意义； 求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常这个过程叫做建模；（2）函数的和与积一般地，已知两个函数()()D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设21D D D =，并且∅≠D ，那么当D x ∈时，()x f y =与()x g y =都有意义，于是把函数()()x g x f y +=()2D x ∈叫做函数()x f y =与()x g y =的和；类似于求两个函数的和，我们也可以求两个函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积；2.函数的基本性质 （1）奇偶性一般地，如果对于函数()x f y =的定义域D 内的任意实数x ，都有()()x f x f =-，那么就把函数()x f y =叫做偶函数；如果函数()()D x x f y ∈=是偶函数，那么()x f y =的图像关于y 轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数；如果对于函数()x f y =的定义域D 内的任意实数x ，都有()()x f x f -=-，那么就把函数()x f y =叫做奇函数；如果函数()()D x x f y ∈=是奇函数，那么()x f y =的图像关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数；由上可知，函数定义域D 关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件； 奇偶性分类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数；奇偶性常用性质结论：① 奇函数()x f y =在0=x 处有意义()00=⇒f ② 奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称；③ 对于多项式函数()++=-1n n bx ax x f …e dx cx +++2若()x f 是奇函数()x f ⇔偶次项的系数全为零； 若()x f 是偶函数()x f ⇔奇次项的系数全为零； ④ ()a x y +=为奇函数()()a x f a x f +-=+-⇔；()a x y +=为偶函数()()a x f a x f +=+-⇔； ⑤ ()x y =为奇函数()()a x f a x f ---=+⇔；()x y =为偶函数()()a x f a x f --=+-⇔；⑥ 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和； 即：()()()()()22x f x f x f x f x f -++--=； 复合函数奇偶性：① 对于()()x g f ，同奇则奇，有偶则偶；② 奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶÷偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇；（2）单调性一般地，对于给定区间I 上的函数()x f y =：如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <，那么就说函数()x f y =在这个区间上是单调增函数，简称增函数；如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f >，那么就说函数()x f y =在这个区间上是单调减函数，简称减函数；如果函数()x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么说函数()x f y =在区间I上是单调函数，区间I叫做函数()xy=的单调区间；f证明单调性步骤：①在定义域上任取21x x <；②作差()()21x f x f -；③变形判断； 单调性常用性质结论：① 在对称的两个区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反； ② 互为反函数的两个函数有相同的单调性 复合函数单调性：① 对于()()x g f ，同增异减；② 增+增＝增；减+减＝减；增一减＝增；减一增＝减； 注意：单调性是函数局部的性质，奇偶性是整体的性质； （3）最值一般地，设函数()x f y =在0x 处的函数值是()0x f ，如果对于定义域内任意x ，不等式()()0x f x f ≥都成立，那么()0x f 叫做函数()x f y =的最小值，记作()0min x f y =；如果对于定义域内任意x ，不等式()()0x f x f ≤都成立，那么()0x f 叫做函数()x f y =的最大值，记作；()0max x f y =；求函数最值的方法：① 利用基本初等函数的值域：反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等； ② 配方法：主要用于二次函数求最值；③ 换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围； ④ 数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等)； ⑤ 单调性法：结合函数单调性求最值；⑥ 不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等； ⑦ 分离常数法：分式函数；⑧ 判别式法：定义域为R ，有二次项的分式方程，⑨ 转化法：利用某些式子的有界性进行转化求最值；或转化成求反函数的定义域； ⑩ 其他法：包括向量法、构造法、平方法、导数法等； （4）零点一般地，对于函数()()D x x f y ∈=，如果存在实数()D c c ∈，当c x =时，()0=c f ，那么就把c x =叫做函数()()D x x f y ∈=的零点；实际上，函数()x f y =的零点就是方程()0=x f 的解，也就是函数()x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标；通过每次把()x f y =的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；零点定理：若()()0<n f m f ，则方程()0=x f 在区间()n m ,内至少有一个实根；（5）周期性一般地，对于函数()x f ，如果存在一个常数()0≠T T ，使得当x 取定义域D 内的任意值时，都有()()x f T x f =+成立，那么函数()x f 叫做周期函数，常数T 叫做函数()x f 的周期，对于一个周期函数()x f 来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数()x f 的最小正周期； 周期性的判断：① ()()a T a x f a x f 2,=-=+；()()b x f a x f +=+，b a T -=② ()()x f a x f -=+，()()x f a x f 1±=+，()()()x f x f a x f +-=+11，a T 2=； ③ ()()x f a x f -=+11或()()a x f x f +-=11，a T 3=；④ ()()()x f x f a x f +--=+11，()()()x f x f a x f -+=+11，a T 4=； ⑤ ()()()()a T a x f x f a x f x f 2,=+=++；()()()()()()a T a x f a x f x f a x f a x f x f 3,22=++=++++；()()()()()()()a n T a x f a x f x f na x f a x f x f n 1,n 1+=+⋯+⋅=++⋯++++项（6）对称性① 一个函数的对称性对于函数()x f y =，若()()x a f x a f -=+或()()x a f x f -=2恒成立，则函数对称轴是2b a x +=；若()()x b f x a f -=+恒成立，则函数对称轴是2ba x += 若()()0=-++x a f x a f 或()()02=-+x a f x f 恒成立，则函数对称中心是(a,0)；若()()b x a f x a f 2=-++，则函数的对称中心是(a ,b )；注意：括号内相减得常数，一般有周期性；括号内相加得常数，一般有对称性； ② 两个函数的对称性函数()x f y =与函数()x a f y -=2的图像关于直线a x =对称；函数()a x f y +=与函数()x b f y -=的图像关于直线2ab x -=对称； 函数()x f y =与函数()x a f y b -=-22的图像关于点(a ,b )对称；3. 函数的图像变换 （1）平移变换 ① 左加右减()()a x y x f y a +=−−−−→−=个单位左移；()()a x y x f y a -=−−−−→−=个单位右移；②上加下减()()b x y x f y b +=−−−−→−=个单位上移；()()b x f y x f y b -=−−−−→−=个单位下移；（2）伸缩变换① ()()()01>=−−−−−−−−−→−=ωωωx f y x f y 倍成原来的纵坐标不变，横坐标变 ② ()()()0>=−−−−−−−−−→−=A x Af y x f y A 倍成原来的横坐标不变，纵坐标变（3）翻折变换①()()x f y x f y =→=；函数()x f y =图像在x 轴上方的部分保持不变，将函数()x f y =图像在x 轴下方的部分对称翻折到x 轴上方；②()()x f y x f y =→=； 保留()x f y =图像在y 轴右边的部分，并将y 轴右边的部分沿y 轴对称翻折到y 轴左边，替代原有的y 轴左边图像；（4）对称变换函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于y 轴对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于x 轴对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图像关于原点对称；函数()x f y =与函数()x a f y -=2的图像关于直线2=x 对称；函数()a x f y +=与函数()x b f y -=的图像关于直线2ab x -=对称； 函数()x f y =与函数()x a f y b -=-22的图像关于点(a ,b )对称；第四章 幂函数、指数函数和对数函数1. 幂函数一般地，函数k x y =（k 为常数，Q k ∈）叫做幕函数； 幂函数k x y =（Q k ∈）的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果与坐标轴相交，则交点一定是原点；② 所有幂函数在()+∞,0上都有定义，并且图像都经过点(1,1)； ③ 若0>k ，幂函数图像都经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限内递增；若0<k ，幂函数图像只经过点(1,1)，在第一象限内递减；注意：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，再根据奇偶性完成整个图像； 2. 指数函数一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，自变量x 叫做指数，a 叫做底数， 函数的定义域是R ；指数运算法则：()R y x a a a a y x y x ∈>=⋅+,,0；()()R y x a a a xy yx ∈>=,,0；()()R x b a a a b a x x x ∈>⋅=⋅,0,；一般地，指数函数x a y =底数1>a 及10<<a 这两种情况下的图像如图所示：指数函数有下列性质：性质1 指数函数x a y =的函数值恒大于零，定义域为R ，值域()+∞,0； 性质2 指数函数x a y =的图像经过点(0,1)；性质3 函数()0>=a a y x 在R 上递增，函数()10<<=a a y x 在R 上递减； 3. 对数及其运算一般地，如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ，即N a b =，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数；根据对数定义，可知：①零和负数没有对数，真数大于零；②1的对数为0，即01log =a ；③底的对数等于1，即1log =a a ；④对数恒等式：N a N a =log 成立；通常将以10为底的对数叫做常用对数，常用对数N 10log 简记作N lg ；以无理数=e 2.71828...为底的对数叫做自然对数，自然对数N e log 简记作N n 1；对数运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a ，那么：()MN N M a a a log log log =+；NMN M aa a log log log =-；M n M a n a log log = 对数换底公式：bNN a a b log log log =(其中0>a ,1≠a ,0>b ,1≠b ,0>N )； 常用恒等式：①N a N a =log ；②N a N a =log ；③1log log =⋅a b b a ；④d d c b a c b a log log log log =⋅⋅；⑤b mnb a n a m log log =；4. 反函数一般地，对于函数()x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()x f y =的反函数，记作()x f y 1-=，在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()()A x x f y ∈=-1；反函数的判定：① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数； ② 周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；反函数的性质：① 原函数()x f y =和反函数()x f y 1-=的图像关于直线x y =对称；若点()b a ,在原函数()x f y =上，则点(b ,a )必在其反函数()x f y 1-=上；② 函数()x f y =与()x f y 1-=互为反函数；原函数()x f y =的定义域是它反函数()x f y 1-=的值域；原函数()x f y =的值域是它反函数()x f y 1-=的定义域；③ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数； 求反函数步骤：① 用y 表示x ,即求出()y f x 1-=； ① x ,y 互换，即写出()x f y 1-=； ③ 确定反函数定义域；注意事项：若函数()b ax f y +=存在反函数，则其反函数为()[]b x f ay -=-11，而不 是()b ax f y +=-1，函数()b ax f y +=-1是()[]b x f ay -=1的反函数；5. 对数函数一般地，对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )就是指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的反 函数；因为x a y =的值域是()+∞,0，所以，函数x y a log =的定义域是()+∞,0；对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )在0>a 及10<<a 两种情形下的图像如图所示：对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )的性质：性质1 对数函数x y a log =的图像都在y 轴的右方，定义域()+∞,0，值域为R ； 性质2 对数函数x y a log =的图像都经过点(1,0)；性质3 对数函数x y a log =(0>a )，当1>x 时，0>y ；当10<<x 时，0<y ；对数函数x y a log =()10<<a ，当1>x 时，0<y ；当10<<x 时，0>y ；性质4 对数函数x y a log =(1>a )在()+∞,0上是增函数，x y a log =()10<<a 在()+∞,0上是减函数；6. 指数对数方程我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利用指数函数的性质：βααβα=⇔=a ，其中0>a 且1≠a ，将指数方程化为整式方程求解；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行 检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能产生增解；解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程；7. 抽象函数抽象函数的解法：① 赋值法；如赋值0=x 、1±=x 、x y ±=、0==y x 等；② 结构变换法：()()[]2211x x x f x f +-=、()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=2211x x x f x f 等；第五章 三角比1. 角的概念与度量一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的；特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角；在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；当角的终边在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限；我们把所有与角α有重合终边的角（包括角α本身）的集合表示为{}Z k k ∈+︒⋅=,360|αββ；在平面几何里，我们把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制；我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小； 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度；用“弧 度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值rl就是角α的弧度数的绝对值，即rl=α，这里α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；弧度制与角度制的换算关系：1弧度π︒=180弧度；在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系；例如，与角α终边相同的角可以表示为{}Z k k ∈+=,2|απββ，与角α终边共线的角可以表示为{}Z k k ∈+=,|απββ；弧长公式：r l α=； 扇形面积公式：lr r S 21212==α扇形； 附表：由α的象限判断α2、α3、2α、3α的象限：2. 任意角的三角比在任意角α的终边上任取一点P ，设P 的坐标为()y x ,，r OP =，则22y x r +=()0>r ，我们规定：r y =αsin ；r x =αcos ；xy=αtan ；y x =αcot ,()Z k k ∈≠πα；x r =αsec ,()Z k k ∈+≠2ππα；y r =αcsc ,()Z k k ∈≠πα；根据三角比的定义，各三角比的正负值如下所示：在平面直角坐标系中，称以原点O 为圆心，以1为半径的圆为单位圆，把点P(x,y )看作角α的终边与单位圆的交点，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y 轴，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T ；于是，OM x ==αcos ，PM y ==αsin ，AT xy==αtan ；所以点P 坐标总可以 表示成()ααsin ,cos ；我们把PM 、OM 、AT 这三条线段分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，这些线段通称为三角函数线；由三角函数线得出的常用三角不等式：① 1sin 0≤≤x ，1cos 0≤≤x ，2cos sin 1≤+≤x x ；② 若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则x x x tan sin <<附表：特殊角的三角比3. 同角三角比关系与诱导公式（1）同角三角比关系倒数关系：1cos sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα； 商数关系：()0cos cos sin tan ≠=αααα，()0sin sin cos cot ≠=αααα； 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+；利用同角三角比的关系，可以实现“弦”、“切”、“割”之间的互化：① 切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”；② 弦化切，一般和“齐次式”有关，通过分式上下同时除以cos 或cos 2得到“切”； ③ 1的代换，通过平方关系，将1代换成所需的三角比；（2）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；第一组：()ααπsin 2sin =+k ；()ααπcos 2cos =+k ；()ααπtan 2tan =+k ； 第二组：()ααsin sin -=-；()ααcos cos =-；()ααtan tan -=-；第三组：()ααπsin sin -=+；()ααπcos cos -=+；()ααπtan tan -=+； 第四组：()ααπsin sin =-；()ααπcos cos -=-；()ααπtan tan -=-；第五组：ααπcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-；ααπsin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-；ααπcot 2tan =⎪⎭⎫⎝⎛-；第六组：ααπcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+；ααπsin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+；ααπcot 2tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+；4. 三角恒等变换（1）和与差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-；()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-；()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+；()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-（2）辅助角公式：()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，ϕ通常取πϕ20≤≤， 由22cos b a a +=ϕ，22sin b a b +=ϕ（或ab=ϕtan ）确定； 常见类型：⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±4sin 2cos sin πααα；⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±6sin 2cos sin 3πααα；⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±3sin 2cos 3sin πααα；（3）倍角公式ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=αααcos sin 22sin =；ααα2tan 1tan 22tan -=（4）半角公式2cos 12sin αα-±=；2cos 12cos αα+±= αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=；。