(1) 当f(x)为简单函数时，
n
n
令f
(x)
i 1
ci Ei (x)(其中E
i 1
Ei
,
Ei可测且两两不交）
0, 及每个Ei，作Ei中的闭子集Fi，使m(Ei
Fi
)
n
(i 1,2, , n
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两
两不交闭集，故f(x)在 n 上连续，显然F为闭集，
且有
F
i 1
Fi
n
n
n
n
n
m( i 1
Ei
i 1
Fi
)
m(( i 1
Ei
Fi ))
i 1
m( Ei
Fi )
6 i 1
n
(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)，
利用(1)的结果知
0, 及每个n (x)，存在闭集Fn E，
使m(E
Fn )
),当x
(ai
,
bi
),
ai
,
bi有限,,
f
(ai
),
f (bi ),
当x (ai ,bi ),bi , 当x (ai ,bi ),ai .
则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p1091）
注2：鲁津定理的逆定理成立。
设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 0, 闭集F E，
2n
且n (x)在Fn上连续
பைடு நூலகம்
令F
n 1
Fn，则F
E，且m(E F )
m(E Fn )
n 1
n 1
2n
由{φn(x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ，
易知f(x)在闭集F上连续。
7
(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换
g(x) f (x) 1 | f (x) |
( f (x) g(x) ) 1 | g(x) |
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可 测函数。
证明：
1 n
, 则闭集Fn
F , 使得：m( E
Fn )
1 n
,
f
(x)在Fn上连续（可测函数），
令F
n1
Fn
, 则f
(x)为F上可测函数.
又m(
E
F
)
m(E
n1
Fn
)
m(E
Fn
)
1 , n
m(E F) 0.
f (x)为E F上可测函数.
fi (xn) f (x), a.e.
f
( x)且m( E
F ) n { fi (x)}
1 n
从而
0, mE[|gn f | ] m(E Fn )
1 n
0(n 0)
即gn (x)依测度收敛于 f (x)于E。
再由Riesz定理，存在 {gn (x)} 的子列{gni (x)} 使 gni (x) f (x), a.e a. e.于E，
使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε，
且sup {g(x) |x∈R}= sup{ f(x) |x∈F}； inf {g(x) |x∈R}= inf{ f(x) |x∈F}；
（对n维空间也成立）
【分】由鲁津定理：若f(x)为 E R 上几乎处处有限可测， 则 0, 闭集F E，且f(x)在F上连续。
第四章 可测函数
第三节 可测函数的构造
1
可测函数 可测集E上的连续函数为可测函数。 简单函数是可测函数。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。
问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？
2
鲁津定理 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0, 闭集F E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
i 1
Ei
,{Ei
}两两不交的闭集族
.若f k
:
Ek
R为连续函数，
n
令f (x)
fk (x) : x Ek，则f
(
x)： k 1
Ek
R上的连续函数。
n
证明：取x0
k 1
Ek
,
0,
由于k0
N
,
使得：x0
k0，而f
k0
在Ek
上为连续的，
0
对此，1 0,
使
得：x
U
(
x0
,
1）
Ek
，必有
0
|
fk0 (x)
f
(x0 ) | .
又令2 min{d(x0 , Ek ) : k k0},则，2 0.
令 min{1,2}.
则x
U
(
x0
,）
E
U
(
x0
,1）
Ek
，
0
必有 | f (x) f (x0 ) || fk0 (x) f (x0 ) | .
故，f (x)在x0处连续。
n
n
注1：另证：由于x0 k1，Ek , x0为开集(k1，Ek )c的内点，
f (x)为(E F ) F上可测函数.
11
例1 对 E R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)， 一定存在R上的连续函数列 { fn (x)} 使 fn (x) f (x), a.e. 于E。
证明：由鲁津定理另外的形式知
1 n
,
闭集F
n
E，及R上的连续函数gn
(x),
使在F 上g (x) n
则 g(x)为有界可测函数，应用(2)即得：
g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则 0, 闭集F E， 使得 m(E-F)<ε且g(x)在F上连续。
故，f(x)在F上为连续函数。
8
注1：鲁津定理另外一种形式：
若f(x)为 E R 上几乎处处有限的可测函数， 则 0, 闭集F E，及R上的连续函数g(x)
k k0
k k0
2 0，使得：U (x0 ,2） (k1，Ek )c，即：U (x0 ,2） k1，Ek 。
k k0
k k0
5
鲁津定理（Lusin）
设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0, 闭集F E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ，故不妨令f(x)为有限函数
k k0
k k0
n
n
4
c
注2：类似结果：设 E
i 1
Ei
,
{Ei
}两两不交的集族，且
k1，Ek均为闭集（ j
1,2, ).
k j
若f k
: Ek
R为连续函数，令
f
(x)
fk (x) : x Ek，则f
(
x)： k 1
Ek
R上的连续函数。
事实上，由于x0 k1，Ek , x0为开集(k1，Ek )c的内点，
（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数.
实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）。 （2）任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。 （3）任一可测函数差不多就是连续函数。
3
n
引理：设E
下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。
9
由于FC为R上的开集，根据R上开集构造， FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的 开区间的并：F c i (ai ,bi ) 。
bi
ai
bi ai
f (x), 当x F,
g
(
x)
f
(ai
)
f
(bi ) bi
f ai
(ai
（) x
ai