龙文教育教师1对1个性化教案
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函数及其表示
【要点回顾】 函数的概念 1.函数的概念
定义:设B A 、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的任意x ,在集合B 中都有唯一的数和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数,通常记为 .
2.函数的定义域与值域
在函数A x x f y ∈=),(中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域. 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 3.区间的概念
4.判断对应是否为函数
5.定义域的求法
6.函数值域的求法
7.复合函数(抽象函数)定义域的求法
函数的表示法
1.函数的三种表示法
图象法、列表法、解析法
2.分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
3.映射的概念
设B A 、是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,对于集合A 中的任意一个元素,在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射,通常记为B A f →: ,f 表示对应法则.
【例题讲解】
考点一:函数与映射概念考查
例1 判断下列图象能表示函数图象的是( )
练习1:函数()y f x =的图象与直线x = a
的交点个数 ( )
A.
只有一个 B.至多有一个 C.至少有一个 D.0个
练习2:下述两个个对应是A 到B 的映射吗? (1)A R =,{|0}B y y =>,:||f x y
x →=
;
(
2
){|
0}A x x =>,{|}B y y R =∈,:f x y →=
练习3:下列是映射的是( )
图1 图2 图3 图4 图5
(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5
函数相等:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致.
例2 指出下列各函数中,哪个与函数y x =是同一个函数: (1)2
x y x
=; (2)y = (3)s t =.
练习1:判定下列各组函数是否为同一个函数:
(1)()f x x =, ()f x (2)()1f x x =+,21
()1
x f x x -=-
练习2:试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)2)(x x f =,33)(x x g =;
(A)
(2)x x
x f =
)(,⎩⎨⎧<-≥=;
01,
01
)(x x x g (3)x x f =)(1+x ,x x x g +=2)(;
(4)12)(2--=x x x f ,12)(2--=t t t g
(5)1212)(++=n n x x f ,1212)()(--=n n x x g (n ∈N *);
考点二:函数定义域
题型1:求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围,实际操作时要注意:① 分母不能为0;② 对数的真数必须为正;③ 偶次根式中被开方数应为非负数;④ 零指数幂中,底数不等于0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写.
例1 求下列函数的定义域:
(1)()1
1
f x x =+; (2)()f x =
例2 设()21
3
x f x -=
,求()0f ,()2f ,()5f -,()f b .
练习1:函数()1
3
f x x =-的定义域为( )
A .[)(]22+∞-∞-U ,,
B .[)()2,33+∞U ,
C .(][)()22,33-∞-+∞U U ,,
D .(]2-∞-,
练习2:函数x
x x x f -+=
0)1()(的定义域是( )
A.{}0|<x x
B. {}0|>x x
C. {}10|-≠<x x x 且
D. {}10|-≠≠x x x 且
题型2:求复合函数和抽象函数的定义域(选讲) 1、复合函数的定义
如果y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即()y f u =,()u g x =,那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫
做函数()y f u =(外函数)和()u g x =(内函数)的复合函数,其中u 是中间变量,自变量为x 函数值为y 。
例如:函数2
1
2x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
2.求有关复合函数的定义域
① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,,求))((x g f 的定义域的方法:
已知)(x f 的定义域为)(b a ,,求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围,即
)(b a u ,∈,)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围,即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ,,求)(x f 的定义域的方法: 若已知))((x g f 的定义域为)(b a ,,求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围,
即)(b a x ,∈。
先利用b x a <<
求得)(x g 的范围,则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
例3 已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ,,求函数)(x f y =的定义域.
练习1:已知(21)y f x =-的定义域是(-2,0),求(21)y f x =+的定义域.
练习2: ⑴若函数)(x f 的定义域是[0,1],求)21(x f -的定义域;
⑵若)12(-x f 的定义域是[-1,1],求函数)(x f 的定义域; ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-,求)32(-x f 定义域.
考点三:函数表示
例1 文具店内出售某种铅笔,每支售价为0.12元,应付款额是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.
分析 函数的定义域为{1,2,3,4,5,6},分别根据三种函数表示法的要求表示函数.
解 设x 表示购买的铅笔数(支),y 表示应付款额(元),则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6.
(1)根据题意得,函数的解析式为0.12y x =,故函数的解析法表示为0.12y x =,{}1,2,3,4,5,6x ∈.
(2)依照售价,分别计算出购买1~6支铅笔所需款额,列成表格,得到函数的列表法表示. x /支
1 2 3 4 5 6 y /元 0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
0.72
在直角坐标系中依次作出点(1,0.12),(2,0.24),
(3,0.36),(4,0.48),(5,0.6),(6,0.72),得到函数的图像法表示.
练习1:利用“描点法”作出函数x y =的图像,并判断点(25,5)是否为图像上的点 (求对应函数值时,精
确到0.01) .
练习2:判定点()11,2M -,()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上.
练习3:市场上土豆的价格是3.2元/kg ,应付款额y 是购买土豆数量x 的函数.请分别用解析法和图像法表示这个函数.
考点四:求函数值域
(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 例1 322+--=x x y
练习:2285y x x =-+- (1)]1,1[-∈x (2)]4,1[∈x (3)]8,4[∈x
(2)分段函数分别求函数值域(分段函数作图) 例2 求函数53-++=x x y 的值域.
例3 函数2
22(03)
()6(20)
x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是( )
A .R
B .[)9,-+∞
C .[]8,1-
D .[]9,1-
(3)换元法:通过等价转化换成常见函数模型,例如二次函数 例4 求函数x x y 21-+= 的值域
考点五:函数解析式求法
1 直接代入法 1)(2-=x x f ,求)(2x x f +
2 换元法 x x x f 2)1(+=+,求)(x f
3 凑配法 已知 ))((x g f ,要求)(x f ,可从))((x g f 配凑出)(x g ,)(x g 用x 代
4 待定系数法 一次函数)(x f 满足14)]([-=x x f f ,求)(x f
5 方程组消元 x x
f x f 3)1
()(2=+,0≠x ,求)(x f
6 特殊值代入 )(x f 对任意实数x ,y 有)(2)()(y x y x f y x f ++=+,且1)1(=f ,求)(x f。