清华大学2006数学分析真题参考答案
1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤g g g 则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-g g g （n=2,3,….）
那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，
{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有
n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-<g g g ，而
1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-<g g g ，由柯西准则{}n x 收敛。

2．证：（反证法）
（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和
3()f x 。

(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在
412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。

(ii)
()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得
51()()f x f x =，也得到矛盾。

(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。

由介值定理，存在
412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。

∴f(x)在I 必严格单调。

3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。

由罗尔定理，存在12(,)c x x ∈，使()0f c '= （1）
因为()0f x ≥，从而为()f x 极小值点，由费马定理 12()()0f x f x ''∴== （2） 由（1），（2）对()f x '在1[,]x c 和2[,]c x 用罗尔定理，则存在3144(,),(,),x x c x c x ∈∈ 使34()()0f x f x ''''==。

再一次对()f x ''在34[,]x x 上应用罗尔定理，
34[,](,)x x a b ξ∃∈⊆，使(3)()0f ξ=。

4．证：令t=a+b-x,则
()()()b
b b
a
a
a
f x dx f a b t dt f a b x dx =+-=+-⎰
⎰⎰。

对6
a π
=
，
3
b π
=
用前一部分结果，有 原式
33
2
3
66
6
sin 111
1211
3[]ln ln 2(2)2(2)22226
x dx dx dx x x x x x x x π
ππ
πππ
π
ππππ
πππππ
===
+==----⎰⎰⎰
5．解：令x n =1y n =+e<x<y,比较y x 与x y 大小⇔比较ln y x e 与ln x y e 大
小⇔比较ln x xy
x 与ln y xy y 的大小⇔比较ln x x
与ln y y 的大小。

故考察函数ln ()(0)x f x x x =
> ，2
1ln ()x
f x x -'=
当x e >时，()0f x '<，从而e x y ≤<时，()()f x f y >则 ln ln (
)()x y
xy xy x y
> ()e x y ≤< 从而ln ln y x
x y e
e > 即当e x y ≤<时，y x x y > ，8n >时1e n n <+1
()
(1)n n n n +∴>+6．证：由条件lim ()0x f x →+∞
=，对任给的0ε>，存在0A >，使当x A ≥时，()f x ε<，故
对
一
切
t A
>，有
0001111()
0()()()()t A t A A t A f x dx f x dx f x dx f x dx t t t t t ε-≤≤+≤+⎰⎰⎰⎰于是对
1
0,0lim
()x f x dx t
εε→+∞∀<≤≤，原式得证。

7．证：0x >时
21
[]xy Ax Ax A
x e dy xe Axe A
+∞---==
⎰
()(0)t f t te t -=≥Q ，最大值1(1)e f -=，故211
0xy
A
x e
dy e A +∞
--≤≤⎰
，20
sup
0()xy A
x x e dy A +∞->>→+∞⎰
因此反常积分在0x >上一致收敛。

8．证：在z u =平面上，将圆2221
x y z z u ⎧++=⎨=⎩
表示成参数就是
22
11x u v
y u v
⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(02)v π≤≤ 则2ds Ea F dudv =
-dudv =
222211
1
1
1
()()2()x y z f z ds dv f u du f u du ππ--++===⎰⎰
⎰⎰⎰
9．本题只要证lim ()x f x a →+∞
=即可，令()()x
F x f x e =，()x
G x e =
则()G x 严格单调上升趋于()x +∞→+∞，()0G x '≠，应用推广Stolz 定理
()(1)()
lim ()lim
lim ()(1)()
x x x F x F x F x f x G x G x G x →+∞
→+∞→+∞+-==+-
应用柯西中值定理
lim ()lim[()()]x f x f f a ξξξ→+∞
→+∞
'=+=。