对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m 1：学考j这上a虑n两|严x子a个格i列j |方等。 a程价为...kk 组。省中在时as间iki 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
a nk
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
A(2) b(2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a(1) ij
b(1) i
mi
a(1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a(k) kk
， 0计算因子
m ik a i(k k )/a k (k )k(i k 1 ,..n ) .,
且计算
a(k1) ij
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: m i1a i1/a 11(a 1 10 )
1
记 L1 =
m 21 ...
1
m n1
a1(1)1...a1(1n) b1(1)
A b ，则 L 1 [A (1 ) b (1 )]
(2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ...L1
Ab
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
bb12((12))
...
其中 Lk =
1
a(n) nn
bn(n)
1
m k 1,k ...
m n ,k
1
1
Lk1
1
m k 1,k ...
m n ,k
§2 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E.
b(k1) i
a(k ij
)
b(k) i
mi
a(k
k kj
)
mi
b(k)
kk
(i, j k 1, ...,n)
共进行 n？ 步1
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
x...n
bb12((12))
s若ubAm的at所ric有eWWtsshas顺mheshk*o(ii/oaaa)lN序fku均iltltN-nolutteiiio主hdfft0o不suioanautrs,n子onni为n(iua(iiennniqwnic)e)xtq式u0hdexiuwesg，ikiest0i0ne/stt*?hrt则s.??ed.ktreh高ctehei斯ariwm-ntih消gitnhea元nt无of需le换adi行ng即可
1
1 1 1 2
1 1 2
1 1 2
109 1 1 0 1 1
x 2 1, x 1 1✓
注：列主元法没有全主元法稳定。
例：11
109 1
109
2
1 109 109
0 109 109 x21, x 10
标度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */
Ch5 解线性方程组的直接方法
求解
Axb
➢ 高斯消元法：
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
=
消元
记
A(1) A(ai(1 j))nn, b ( 1 )
b
b1( 1 ...
1
m L11 L21..L .n11
1
i, j
记为 L
1
1
a (1) 11
记U=
ALU a (1) 12
a (2) 22
seHo...nd......lesdFsovCfiyyfooWasebu/foU s*aaracelphmgIuvthtn12((tr(...ueewaenn12x hnhne oleea)))vndcsmaornnthteiin irvhfyttzsreisiya’exoeeyctaiory Am,uL GtydfsbAwuoop..aypEbl单y irlohfscktyelemihegwatohnra 位esmv?iueostaevmtre??ewr,eob i下foa-!?itnrtfxnhnoiWeroate三ilmegsrayndhnunedh角ylgaaurv阵leartomatrix
列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */ 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
|aik,k|m kin|a aix k|0
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
例：
109
109 1
1
0
109 109
小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计
算失败。
x 21 , x 10
全主元消去法 /* Complete Pivoting */ 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 | mik |。1 Step k: ① 选取 |aikjk|k m i,jna |aix j|0; ② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再 换回来。
)
b
(1 n
)
Step 1：设a1(11) ，0计算因子
m i1 a i(1 1 )/a 1 (1 )1(i 2 ,..n .),
将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 mi1 第1行，
得到
a 1 (1 )1a 1 (1 )2..a .1 (1 n ) b 1 (1 )
进行到底，得到唯r一ow解. 。
注：消事元实及上行，交只换要d，eAt将(A非i 方)奇程异a.1.组.1，化即......为Aa.三1.i.1 角存形在方，程则组可，通求过出逐唯次
一解。
ai1 ... aii
➢ 选主元消去法
例：单精度解方程组 109x1 x2 1
x1 x2 2
/*
精确解为
...
bn(n)
§1 Gaussian Elimination – The Method
回代
xn bn(n) /an(nn)
n
bi(i) ai(ij)xjxi ji1a(i) ii
(in1,...1,)
定理
principal
TWhheantwifewmeucsatnf’itnd the
x111 1 09 1.0 80 .个 .0.10..0和.
8个
x22x10.99 ..9.89..9*./
用Gaussian Elimination计算：
m 21a21 /a1119 08个 a 2 2 1 m 2 1 1 0 .0 .0 .1 .19 0 19 0 190
b 2 2 m 2 1 1 190