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曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则1(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称,则1(,)2(,)LL f y f x y ds f x y ds f y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=⎰⎰LLf x ds f y ds .(3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称,则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称,则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.(4)若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ,则[(,)(),()()βααβ=<⎰⎰Lf x y ds f x t y t若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r (极坐标),则[(,)()cos ,()sin βαθθθθθ=⎰⎰Lf x y ds f r r若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ,则[(,,)(),(),()()βααβΓ=<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t(5)若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ,则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ,则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt(6)若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈,则[(,,),,(,)xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈,则[(,,)(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈,则[(,,),(,),zxD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.(7)若有向曲面:(,)z z x y ∑=,则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰(上“+”下“-”) 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=,则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰(前“+”后“-”) 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=,则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰(右“+”左“-”) 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域. (8)d d +⎰LP x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰cP x Q y (c 为D 内任一闭曲线)(,)⇔=+du x y Pdx Qdy (存在(,)u x y ) ∂∂⇔=∂∂P Qy x其中D 是单连通区域,(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.(9)格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向,(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.(10)高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧,(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.(11)斯托克斯公式dydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q RΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰其中Γ为曲面∑的边界曲线,且Γ的方向与∑的侧(法向量的指向)符合右手螺旋法则,,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤: (1)计算曲线积分的步骤:1)判定所求曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分); 2)对弧长的曲线积分,一般将其化为定积分直接计算;对坐标的曲线积分:① 判断积分是否与路径无关,若积分与路径无关,重新选取特殊路径积分; ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件,若满足条件,利用格林公式计算(添加的辅助线要减掉);③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分,判断是否满足斯托克斯公式的条件,若满足条件,利用斯托克斯公式计算;若不满足,将其化为定积分直接计算.(2)计算曲面积分的步骤:1)判定所求曲线积分的类型(对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分); 2)对面积的曲面积分,一般将其化为二重积分直接计算;对坐标的曲面积分:① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件,若满足条件,利用高斯公式计算(添加的辅助面要减掉);② 将其投影到相应的坐标面上,化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x,其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dyI x y x x x x由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称,被积函数211==+P Q x 对x 、y 均为偶函数,因此220,011==++⎰⎰L L dxdyx x故 20+==++⎰Ldx dyI x y x『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同,记清楚后再使用.事实上,本题还可应用格林公式计算.例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ,其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS 故 2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS b y dS c z dS n dS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS n dS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c xy z dS R n22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同,理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面,做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰x y z dS ,其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dS axdS a x a dS a dS222402248ππ∑=+==⎰⎰a dS a a a『方法技巧』 积分曲面∑是关于0-=x a 对称的,被积函数-x a 是-x a 的奇函数,因此()0∑-=⎰⎰x a dS例4 计算曲线积分2222+⎰Lx y L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向.解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ=--+⎰⎰La d x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d ad324332013118(sin sin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ad a a解法2 利用格林公式2222222211()=-=++⎰⎰⎰⎰LLDxy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ,故222232200112πθρρρπ==+⎰⎰⎰a Ld d a a x y『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式:213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数解法2中,一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中,才能应用格林公式,否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰L x y dx x y dyx y ,其中L 为沿cos π=y x 由点(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解 直接计算比较困难.由于 2222,+-+==++x y x yP Q x y x y ,222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内,积分与路径无关.取圆周2222π+=xy 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ,其参数方程为:cos 5:(:)44sin θππθθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ,代入被积函数中得 222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰LL x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段'L,既要保证'L 简单,又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ,其中∑1=的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解 由于曲面∑具有轮换对称性,∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ,∑投影到xOy 面的区域{}(,)1=≤xy D x y ,故233(1∑∑∑++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy21(12203(13(1==⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy 1401(12=⎰dx411(1)30--=⎰t t dt 『方法技巧』 由于积分曲面∑具有轮换对称性,因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ,∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ,其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ,取下侧,则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x ydydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域,xy D 为∑投影到xOy 面的区域,即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ,由xy D 的轮换对称性,有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰h h h h d d h『方法技巧』 添加辅助面时,既要满足封闭性,又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧(内侧),因此添加的平面要取下侧,这样才能保证封闭曲面取内侧,使用高斯公式转化为三重积分时,前面要添加负号.例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰Lz y dx x z dy x y dz ,其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看,L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧,∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ,则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰Ldydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单,所有应用斯托克斯公式的题目,曲面∑的选取都是关键,∑既要简单,又要满足斯托克斯的条件,需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下: (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心(形心). (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS(2) 质心坐标平面曲线形物体的质心坐标: (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰L L LLx x y ds y x y ds x y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标:(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标:(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时,质心也称为形心.(3) 转动惯量平面曲线形物体的转动惯量:22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y LLI y x y ds I x x y ds空间曲线形物体的转动惯量:2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y LLI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds曲面形物体的转动惯量:2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰z I x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.(4) 变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下,沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点,F 所做的功(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下,沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点,F 所做的功(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz(2) 矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy(3) 散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k x y z PQR∂∂∂=∂∂∂ 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤: (1)根据所求物理量,代入相应的公式中; (2)计算曲线积分或曲面积分.例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下,沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ,求场力所做的功.(其中=r k解 积分曲线L 如图所示. 场力所做的功为(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 22=-⎰AB y xk dx dy r rij k令22,==-y x P Q r r ,则22224()(0)∂-∂==+≠∂∂P k x y Qx y y r x即在不含原点的单连通区域内,积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径:1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径1L ,一般而言,最简单的路径为折线路径,比如AO OB ,但不可以选取此路径,因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说,所取路径不能经过坐标原点,当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ,曲面∑是由曲线(12)0⎧⎪=≤≤⎨=⎪⎩y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角,求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解 旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ,令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧,2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧,则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧,故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y zx y x y z dzdxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面∑的方程,其次考虑封闭曲面的侧,以便应用高斯公式,最后用截痕法计算三重积分,用对称性计算二重积分.。

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