预测理论与方法预测理论与方法电子教案北京交通大学郎茂祥第四章因果分析预测法第一节回归分析预测法概述第二节一元线性回归分析预测法第三节多元线性回归分析预测法第四节自回归预测法第五节非线性回归分析预测法第六节弹性系数预测法第七节计量经济模型预测法（自学）第八节投入产出预测法第一节回归分析预测法概述一、因果分析预测和结构关系预测二、有关回归分析预测的几个名词三、变量间的关系四、回归方程一、因果分析预测和结构关系预测因果分析预测前因后果关系单方程模型分析计量经济模型分析结构关系预测互为因果关系多方程模型分析宏观计量经济模型预测分析二、有关回归分析预测的几个名词、回归关系进行因果分析时用统计方法在大量试验和观察中获得的在随机性中内涵的统计规律性。

、相关分析指回归关系的分析过程以判别现象之间是否存在相关关系及相关的密切程度。

、回归分析指在相关分析的前提下有关回归关系的计算和理论。

、相关回归分析相关分析和回归分析的统称。

、相关回归预测法利用相关分析和回归分析的方法进行预测。

三、变量间的关系、函数关系、相关关系。

因变量和自变量的总体平均数呈某种函数关系。

处理变量间的相关关系的方法就是回归分析。

回归分析若只涉及到两个变量（一个因变量和一个自变量）称为一元回归分析。

若涉及变量多于两个（一个因变量和多个自变量）称为多元回归分析。

四、回归方程回归方程分为：①一元回归方程②多元回归方程。

①线性回归方程②非线性回归方程。

回归方程的形式：①代数形式②超越形式③代数形式和超越形式相混合。

第二节一元线性回归分析预测法一、一元线性回归方程二、确定回归参数a、b的方法三、相关性检验一、一元线性回归方程研究自变量x与因变量y的相关回归。

拟合数学模型从两个方面考虑：①两变量是否存在相关关系。

质②两者之间的经验方式线性公式。

量一、一元线性相关回归方程（一）引例例一：已知某地区年的货物周转量和汽车需要量见下表。

预计年的货运周转量为万t·km预测该年的汽车需要量。

一、一元线性相关回归方程对汽车需求量的预测方法有以下几种：①按时间序列方法求解（建模）。

②计算平均每辆汽车完成的周转量。

③用线性回归方法预测。

通过画图描点可以看出x和y呈一定的线性关系。

用下式表示yi和xi的对应关系yi=abxiei其中=abxiei=yi－ei随机项除Yi和Xi的线性影响之外的其它各因素对Yi的影响散点分布与拟合直线图一、一元线性相关回归方程（二）一元线性回归的重要假设、yi和xi的关系是线性的。

、xi是可测定可控制的是确定的值。

、（）E(ei)=E(ei)=。

（）E(eiej)=（i≠j）。

、yi为随机变量且ei和xi互不相关。

上述四点归结为E(ei)=误差总体ee…ei是相互独立的且服从同一正态分布（）。

二、确定回归参数a、b的方法用最小二乘法求a、b的估计值其中：二、确定回归参数a、b的方法回归直线方程理论估计值、回归直线参数即为经验公式参数x的离差平方和y的离差平方和x、y的离差平方和回归直线方程计算表年份xyxyxy和回归直线方程参数计算实例三、相关性检验（一）估计量的统计性质、、的统计性质①、的均值、分别是a、b的无偏估计量估计量的期望值等于总体参数。

②、的方差～N(b,）～N(a,）三、相关性检验③的统计性质b的均值是的波动大小不仅与V(ei)=有关而且取决于观测数据中自变量x的波动程度。

④的统计性质a的均值是V()不仅与σ和x的波动有关而且与观测数据个数n有关。

数据越多x值越分散估计量越精确。

⑤、的协方差三、相关性检验、理想估计量具备的几个条件（）无偏性：是b无偏估计量（）一致性：的分布能收敛于b。

（）有效性（效率高）是方差最小的估计量。

（）充分性能充分地利用样本的有关被估计参数的情况。

（）最小平均方差:方差小对预测有利。

三、相关性检验（二）效果检验和验证、方差分析y的总变差=y 的残余变差y的说明变差总平方和=误差平方和回归平方和总离差平方和=剩余平方和回归平方和TSS=ESSRSS三、相关性检验S总=S 剩S回S总=S回=S剩=希望回归平方和越大越好。

希望剩余平方和越小越好。

上式的几何意义：S回的大小决定了直线的斜率S回越大说明x 和y越密切若S回=则y与x无关S剩=回归直线通过所有样本观测点。

三、相关性检验例一的一元线性回归方程方差分析表均方和=平方和自由度三、相关性检验、相关系数（R）相关系数表明因变量y对自变量x的相关关系及其相关程度说明拟合的回归方程是否具有应用价值。

若|R|=表明因变量对自变量有完全相关关系若|R|=表明因变量对自变量不存在相关关系R表明正相关R表明负相关三、相关性检验R ∈()表示高度相关R∈()表示中度相关R∈()表示低度相关。

例一中R=。

有专门的相关关系检验表若RRα(n)表示在α水平上显著相关拟合方程合理。

相关关系还有一种积差计算法等于协方差与方差之比：三、相关性检验、拟合优度R拟合优度R==R=则完全拟合没有误差R=表明与完全拟合无优度。

例一中R=三、相关性检验、回归标准差（SER或S）拟合的优劣用的大小表示（误差偏离均值的程度）大则劣度大若则拟合优度高。

例一中三、相关性检验、F检验也称相关检验即检验x与y是否存在线性关系及是否在指定的α水平上显著相关。

F检验的步骤：①计算②置信度（α）情况下查F分布表得Fα。

③比较F、Fα若FFα则回归效果显著x与y线性关系密切若FF α则回归效果不显著。

三、相关性检验例一中回归效果显著。

回归效果不显著的原因是：影响y的除x之外还有其它不可忽略的因素或者因为y与x的关系不是线性关系或者y与x根本无关故不可用线性回归方法预测。

三、相关性检验、置信区间y=x与y对应为显著水平为α自由度为nk的t分布值对预测值离平均值越近则区间越小预测精确。

若距离平均值很远置信区间过大则失去预测意义。

三、相关性检验例一中第三节多元线性回归分析预测法一、多元线性回归方程二、多元线性回归方程的参数估计三、多元线性回归预测模型四、多元线性回归预测模型的效果检验五、回归分析中的相关性问题一、多元线性回归方程假定预测变量y与一组自变量xx…xm 之间存在线性相关关系即：式中e为随机误差项abi（i=…）是未知参数m为自变量个数。

可用下列方程组描述为：一、多元线性回归方程令:则可以用下式代表上述线性方程组：Y=XBE二、多元线性回归方程的参数估计多元线性回归有如下假设：（）et是对每一个t=,…n的随机误差（）E(et)=（）V(e)=σ=常数（）当t≠t时et、et非相关的即S(etet)=E(etet)=（）|XTX|≠即XTX矩阵是可逆矩阵。

二、多元线性回归方程的参数估计采用最小二乘法进行参数估计：S剩=∑ei=参数应使S剩为最小值。

三、多元线性回归预测模型以二元线性回归模型为例。

通过求XTX、(XTX)、XTY得到。

四、多元线性回归预测模型的效果检验、方差分析的协方差矩阵理论上总方差（或）回归方差剩余方差四、多元线性回归预测模型的效果检验方差源离差平方和自由度方差回归m剩余n(m)总计n四、多元线性回归预测模型的效果检验方差,为（XTX）的对角线上第j 个元素标准差如。

例二的方差分析四、多元线性回归预测模型的效果检验、相关系数、F检验H：b=b=…=H：各参数不同时为零若H假设成立则因变量与自变量存在显著相关关系。

四、多元线性回归预测模型的效果检验、t检验相关系数、F检验仅能说明y与x的关系不能具体了解y与x的关系···y与xi的关系。

t检验假设：H：b=H：b≠H：b=H：b≠t检验的计算公式判断若拒绝H则y与x、x显著若某个bj=成立则方程中应略去该项剔除该项xj。

例二的相关系数、F检验和t检验相关系数大回归效果显著两个自变量对因变量均有显著关系。

四、多元线性回归预测模型的效果检验、置信区间yi=bbxbx…bmxm回归线误差：四、多元线性回归预测模型的效果检验yp的置信区间为：yp的值除了受回归线误差影响外还要受随机干扰误差的影响。

总预测误差为预测标准差为预测值的置信区间为五、回归分析中的相关性问题相关的种类：①自变量与因变量相关相关系数②自相关变量不同时期误差间的相关关系③多变量共相关多变量中各自变量间的相关关系④偏相关系数各自变量对因变量的相关关系五、回归分析中的相关性问题（一）自相关、概念在时序列分析中将ei记为et,各期的误差et之间有一线性关系记为et=ρetUt各期误差间的线性关系称为自相关关系。

Utt期的新误差（et与et之间的误差）ρ参数（|ρ|）产生自相关的原因是因为在回归方程中漏掉了一些重要因素。

五、回归分析中的相关性问题、验证回归方程是否有自相关关系的方法杜宾－华生检验et=ρetUt中当ρ=时et=Utet即为自变量假设：H：ρ=H：ρ无自相关现象构造一个统计量：五、回归分析中的相关性问题查杜宾－华生检验表查出两个临界值du(上界值)dL(下界值)若Ddu接受H无自相关关系DdL接受H有自相关关系dL≤D≤du不能决定。

、排除自相关的方法排除自相关的方法是将yt作为自变量加入回归方程中即:yt=abxtbytet五、回归分析中的相关性问题、自相关系数反映自变量的程度对平稳的时序列有：则五、回归分析中的相关性问题（二）多变量共相关概念多元线性回归中各自变量间也有相关关系。

检验方法①计算x、x的相关系数②计算x、y的相关系数③计算x、y的相关系数若则x、x有共相关关系。

五、回归分析中的相关性问题清除或减少共相关的方法（）增加时间数列（）改变自变量或用一个变量取代另一个（）删掉其中一个自变量（）自变量不用绝对值改用年增长率五、回归分析中的相关性问题（三）偏相关关系、概念偏相关分析研究各自变量对因变量的影响程度。

通过计算偏相关系数可在回归模型中剔除其中偏相关值很低的自变量因素。

、偏相关系数的计算方法先分别求出因变量与各自变量之间以及各自变量相互之间的两两对应相关系数然后才能计算偏相关系数。

五、回归分析中的相关性问题以二元回归为例首先计算单相关系数五、回归分析中的相关性问题然后计算得偏相关系数如下：例：=高度相关=中度相关不可忽视。

第四节自回归预测法一、自回归预测法的概念二、自回归（AR）模型各系数的估计三、低阶自回归方程及求解一、自回归预测法的概念、AR（自回归）是一种适应滤波方法既是一种重要的预测方法也是自回归移动平均模型（ARMA）的重要组成部分。

、自回归预测法是利用同一数列的前期数据对数列的未来作出预测。

、采用条件数列的现期数据与前期数据呈现线性关系时。

一、自回归预测法的概念、自回归与指平和回归分析的异同（）自回归与回归分析回归分析是研究各种变量之间的关系以自变量的变化来描述（预测）因变量变化是一种因果模型。