§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。

在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。

一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。

例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。

解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。

二、 导数在经济工作中的应用举例（一） 边际的概念经济学上把“某某”经济函数()x f y =的导数()x f '，称为函数()x f 在x 处的“边际某某”，即称()x f '为函数()x f 的边际函数，称()0x f '为函数()x f 在点0x x =处的边际函数值。

它反映了函数()x f 在点0x x =处的变化速度。

一般地，“某某”经济函数()x f y =，则“边际某某”就记作()().,000x x x x dxdyx f My dxdyx f My ==='=='=它表示经济函数()x f y =在点0x 处，当经济量x 改变一个单位时，()x f 近似地改变()0x f '个单位。

设成本C 是产量x 的函数()x C C =，则边际成本();dxdC x C MC ='= 设产量P 是某种投入资源x 的函数()x P P =，则边际产量();dxdP x P MP ='= 设总收入R 是产量x 的函数()x R R =，则边际收入();dx dR x R MR ='= 设总利润L 是产量x 的函数()x L L =，则边际利润().dxdLx L ML ='=例3 某种产品的总成本C （万元）是产量x （万件）的函数（称为总成本函数）()3202.04.06100x x x x C +-+= （万元），试问当生产水平为10=x （万件）时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？ 解：当生产水平为10=x （万件）时，总成本()1401002.0104.010*******2=⨯+⨯-⨯+=C （万元），这时每个单位产品的平均成本为()()件元14101401010==C ， 而 ()206.08.06x x x C +-='， 所以生产水平10=x （万件）时的边际成本为()().41006.0108.06102件元=⨯+⨯-='=C MC由于边际成本是生产水平为10=x （万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品，总成本增加的数量，它低于平均成本14()件元，所以从降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。

例4某公司总利润L （元）与每天产量x （吨）的关系为(),52502x x x L L -==试确定每天生产20吨、25吨和35吨时的边际利润，并予以经济解释。

解： 因为 (),10250x x L ML -='=(),502002502020=-='==L ML x (),025025025=-='==x L ML x ().1003502503535-=-='==L ML x上述结果表明，当日产量为20吨时，再多生产1吨，总利润约增加50元；当日产量为25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为35吨时，再多生产1吨，则利润约减少100元。

（二） 弹性的概念例如，甲商品每单位价格5元，涨价1元；乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其原价相比就能获得问题的解答。

甲商品涨价百分比为20%，乙商品涨价百分比为0.5%,显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率. 例5设函数2x y =,当x 从8增加到10时,相应的y 从64增加到100,即自变量x 的绝对改变量,2=∆x 函数y绝对改变量.36=∆y 又%,25.566436%,2582==∆==∆y y x x 即当8=x 增加到10=x 时, x 增加了25%,y 相应增加了56.25%,我们分别称yyx x ∆∆和为自变量与函数的相对改变量.如果在本例中,再引入下式,25.2%25%25.56==∆∆xx y y则该式表示在(8,10)内,从8=x 到10=x 时,函数2x y =的平均相对变化率.因此我们有如下定义:定义 设函数()x f y =在x 处可导,函数的相对改变量()()()x f x f x x f y y -∆+=∆与自变量的相对改变量xx ∆之比xx y y∆∆称为()x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性.当0→∆x 时,x x y y ∆∆的极限称为在x 处的弹性,记作.lim ,0y x y x x y yEx Ey Ex Ey x ⋅'=∆∆=→∆即由于Ex Ey 也为x 的函数,故也称它为()x f 的弹性函数.ExEy 反映了随着x 的变化,函数()x f y =变化幅度的大小,也就是函数()x f y =对自变量x 的变化反映的灵敏度,即ExEy表示在点x 处,当x 产生1%的改变时,函数()x f y =近似地改变%ExEy . 例6求幂函数αx y =(α为常数)的弹性函数.解: ().,11ααααααα=⋅=⋅'=='='--xxx y x y Ex Ey xxy 可见,幂函数的弹性恒为常数,等于幂指数α,即在任意点处的弹性不变.设某产品的需求量为价格P 的函数()P f Q =,通常当产品的价格上涨时,需求量就会减少,而当产品的价格下降时,需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得,需求量Q 对价格P的 弹性.QPQ EP EQ ⋅'=需求量Q 对价格P 的弹性的经济意义是:当价格为P 时,若价格上涨(或下降)1%,需求量Q 将减少(或增加)%EPEQ. 例7设某商品的需求函数为Q=60-3P,求P=10,P=15时,需求量Q 对价格P 的弹性,并解释其含义.解: 因为 ,3-='Q 所以,203603-=--='=P PP P Q P Q EP EQ 当P=10时,,1201010-=-=EP EQ 当P=15时,,3201515-=-=EP EQ这表明,当价格P=10时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)1%;当价格P=15时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)3%. 练习2—6 1. 下列说法是否正确?(1) 一汽车在刹车后t 秒所行的距离()2630t t t s -=(米),则刹车开始时的速度为秒米30=v ,当5=t 秒时的加速度为212秒米=a .(2) 生产某种产品x 个单位成本函数为(),05.02002x x C +=则生产90个单位产品时,再多生产一个单位产品,成本将增加9个单位.(3) 设某种商品的总收益R 是商品价格P 和销售量Q 乘积,如果销售量Q 是价格P 的函数()212PP Q Q -==,则当价格P=6元时,价格每上涨1%,总收益将随之增加0.67%. 2. 已知一物体的运动规律为()224124-+=t t t s (米),求1=t 秒时速度和加速度.3. 某企业利润函数()25250x x x L -=(单位:千元),x 为日产量(单位:吨),求每日生产20吨25吨、35吨时的边际利润.4. 某种产品的销售量Q 与价格P 之间的关系为P P Q -=1,求销售价格P=21时的弹性系数. 习题2—61. 设质点作直线运动,其运动规律给定如下,求质点在指定时刻的速度与加速度: (1);2,233=+-=t t t s (2)3costA s π= (A 为常数), 1=t .2. 设通过某导体截面的电量为()ϕω+=t A q cos (库仑),其中ϕω,,A 为常数,时间t 的单位为秒,求通过该截面的电流()t I .3. 某产品生产x 个单位的总成本C 为x 的函数()2012.01000x x C C +==(元).求生产1000件产品时的边际成本,并说明其经济意义. 4. 某企业产品的成本函数和收入函数分别为()(),201350,51200300022x x x R x x x C +=++=其中x 为产品的产量,求边际成本、边际收入和边际利润.(提示:利润函数()()()x C x R x L -=)5. 设某商品需求量Q 对价格P 的函数关系是()PP f Q ⎪⎭⎫⎝⎛==411600,试求需求量Q 对价格P的弹性. 6. 生产函数Bx y 41=,其中y 是产出量,x 是投入量. (1) 证明B 就是生产函数的弹性ExEy; (2) 当B=16,41=x 个单位时的平均产量和边际产量各是多少?（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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