∴ AB = BD ， AC BC
设 BD=AD=x，则 4 = x ，即 x2 + 4x − 16 = 0 ， x4
解得： x1 = −2 + 2 5, x2 = −2 − 2 5 （不符题意，舍去），
∴ BD = −2 + 2 5 ，
故选：A．
【点睛】 本题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质
根据已知证明△ADB∽△ABC,利用 AB = BD 代值求解即可． AC BC
【详解】
∵ AB = BC = CD = 4 ，
∴∠A=∠C，∠DBC=∠BDC， ∵∠DBC=2∠A， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠ABD=∠A=∠C， ∴△ADB∽△ABC，AD=BD
是解答的关键． 7．B
【解析】 【分析】
过 N 作 NH⊥DE 于 H，过 A 作 AP⊥BC 于 P 交 DE 于 G，得到 NM∥AG，根据三角形中位线定理得到 DE∥BC，得到 AG＝PG，
求得 NM＝ 1 AG＝ 1 PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论． 22
AC 4
AB 6 3 4 3
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故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；
D、∵ 3 = 3 = 1 ， 6 AB 2
AB = 3 ， 1 ≠ 3 ， BC 4 2 4
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误. 故选 B． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 4．D 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出 BC，计算即可． 【详解】 ∵l1∥l2∥l3，
（2）若∠AEB = 90 ，求 EC 的长．（4 分）
（8 分）19．已知△ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 A(0，3)，B(4，5)，C(3，2)．(正方形网格中， 每个小正方形的边长都是 1 个单位长度) （1）画出△ABC 向下平移 5 个单位长度得到的 △A1B1C1 ，并直接写出点 C1 的坐标；（4 分） （2）以点 B 为位似中心，在网格中画出 A2BC2 ，使 A2BC2 与 ABC 位似，且相似比为 2∶1，并直接写出 A2BC2 的面积．（4 分）
（1）求 a 的值；（4 分）
（2）如图，过点 B 作直线 AB 与函数 y = a − 3 的图象交于点 A ，与 x 轴交于点 C ，且 AB = 3BC ，求点 A ，C 的坐 x
标．（6 分）
（10 分）23．如图， AC 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的弦，点 P 是⊙ O 外一点，连接 PB, AB, PBA = C ． （1）求证： PB 是⊙ O 的切线；（4 分） （2）连接 OP ，交 AB 于点 Q ，若 OP / / BC ，且 OP = 6 ，⊙ O 的半径为 2 ，求 BC 的长．（6 分）
A． 11
B．2 3
C． 13
D． 14
10．如图，已知反比例函数 y = k (k 0) 在第一象限经过 ABO 的顶点 A，且点 B 在 x 轴上，过点 B 作 x 轴的垂线交 x
反比例函数图像于点 C，连结 OC 交 AB 于点 D，已知 OC = 2 3 ， AO = AD = 3 ，则 k 的值为（ ） OB DB 2
A．
B．
C．
D．
4．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则 AC 的长为（ ）
A．2.5
B．4.5
C．6.5
D．7.5
5．在下列四个三角形中，与 ABC 是位似图形且 O 为位似中心的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
6．如图， D 为 ABC 的边 AC 上一点， AB = BC = CD = 4 ， DBC = 2A ，则 BD 的长为（ ）
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人教版九年级下册 27 章相似单元培优测试
一、单选题（40 分） 1．下列多边形一定相似的是（ ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个菱形 2．下列图形中不是位似图形的为（ ）
D．两个正方形
A．
B．
C．
D．
3．如图，在三角形纸片 ABC 中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）
∴ AB = DE ， BC EF
即 5 =6， BC 3
∴BC＝2.5， ∴AC＝AB+BC＝5+2.5＝7.5， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5．B 【解析】 【分析】 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】 解：∵②与△ABC 相似，对应点的连线相交于点 O，对应边互相平行， ∴②与△ABC 是位似图形且 O 为位似中心， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相 平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 6．A 【解析】 【分析】
；⑤ CF
CP
为定值．
三、解答题（86 分）
（8 分）17．已知 AB∥CD，AD、BC 交于点 O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求 AB 的长．
（8 分）18．如图，已知 ABC∽AED ， AB = 5 ， BE = 3 ， ED = 12 ． （1）求证： BAE = DEC ；（4 分）
本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 3．B 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】 解：在三角形纸片 ABC 中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵ 4 = 4 = 1 ，对应边 AB = 6 = 3 ， 1 ≠ 3 ，
点 B ，点 P 为弧 AM 上一动点（不与点 A ， M 重合），直线 PC 交 BD 于点 D ， BE ⊥ OC 于点 E ，延长 BE 交 PC 于
点 F ，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）
①
PB
=
PD ；②
BC
的长为
4 3
；③ DBE
=
45 ；④△BCF∽△PFB
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（8 分）20．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话 摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB、AD 的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15 里，HG 经过点 A，问 FH 多少里？
BC 8 2
BC 8 4 2 4
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；
B、∵ 2 = 1 ，对应边 AC = 1 ，即： 2 = AC ，∠C=∠C，
AC 2
BC 2
AC BC
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似，故此选项正确；
C、∵ 3 = 3 ，对应边 AC = 4 = 2 ， 3 ≠ 2 ，
PC （3）如图 3，当 BE•EF＝108 时，求 BP 的值．（6 分）
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参考答案 1．D 【解析】 【分析】 利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案． 【详解】 解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以 A 错误， 两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以 B 错误， 两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以 C 错误， 两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以 D 正确， 故选 D． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键． 2．B 【解析】 【分析】
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（12 分）24．在 ABC 中， ABC = 2ACB ， BD 平分 ABC ． （1）如图 1，若 AB = 3 ， AC = 5 ，求 AD 的长．（3 分） （2）如图 2，过 A 分别作 AE ⊥ AC 交 BC 于 E ， AF ⊥ BD 于 F ． ①求证： ABC = EAF （4 分）；②求 BF 的值．（5 分）
根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】
解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A 三个图形中的两个图形是位似图形；故 A 不符合题意， B 中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故 B 符合题意， 根据位似图形的概念，C 三个图形中的两个图形是位似图形；故 C 不符合题意， 根据位似图形的概念，D 三个图形中的两个图形是位似图形；故 D 不符合题意， 故选：B． 【点睛】
为 1： ， 点 A 的坐标为（0，4），则点 E 的坐标是 15．如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，过 F 作 FG∥CD 交 AE 于点 G，
连接 DG．若 AG＝3 5 ，FG＝5，则 AE 的长为_____．