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练习 求下图所示网络的最小支撑树。
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网络流与最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，如运 输网络中的人流、车流、物流，供水网络中的水 流，金融系统中的现金流，通信系统中的信息流 等等。
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1、问题的提出
已知网络D =（V,A,C），其中V 为顶点集，A 为弧集， C = { cij }为容量集，cij 为弧 (vi ,vj)上的容量。现D 上要通 过一个流 f = { fij }，其中fij为弧(vi ,vj)上的流量。问应如 何安排流量 fij 可使D 上通过的总流量v 最大？
(7,6)
0,+∞
(3,2)
vs (10,4) (3,2)
v1
vs ,6
v5 (5,3)
vs ,1
(4,2)
(2,2)
v4
v1,2
(8,3)
vt
v4 ,2
: vt← v4← v1← vs 2
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: vt← v4← v1← vs 2
vs ,1
v2
(1,1)
(4,3)
(3,2) (4,3)
例6-3
➢ 增广链：在增广链上可以调整增加流量。
正向弧皆非饱和 反向弧皆非零
第16页 共49页
➢ 截集、截量
例6-3 中若 V1 = {vs ,v1}，请指出相应的截集与截量。
定理： 最大流的流量等于最小截集的截量。
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5、标号法求最大流
重复标号求增广链并调整可行流，直到不存在 增广链。
v5 ,1
v3
(7,6)
0,+∞
(3,2)
vs (3,2)
(10,6)
v1
vs ,4
v5 (5,3)
vs ,1
(4,4)
(2,2)
v4
v5 ,1
(8,5)
vt
v3 ,1
: vt← v3← v5← vs 1
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: vt← v3← v5← vs 1
vs ,1
v2
(1,1)
v3
(4,3)
4
1
2
3
1
1
1
4
4
5
5
2
4
5
3
2
4
1
2
3
1
1
1
4
4
5
5
2
4
5
3
2
4
1
2
3
1
1
1
4
4
5
5
2
4
5
3
2
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最小支撑树的应用 例6-2 已知有A、B、C、D、E、F 六个城镇间的道路网络
如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架设）， 每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均能通话且总 架设费用最少的架设方案。
vs ,2
v2 (6,6)
(8,6)
0,+∞
vs (7,7)
(3,0) (2,0) v1 (8,7)
v3
(7,6)
(3,0)
vt
Байду номын сангаас
(10,7) v4
f1中不存在增广链，即为最大流，其流量 V( f ) = 6+7 = 13
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例6-5 求最大流。
vs ,1
v2
(1,1)
v3
(4,3)
(3,2) (4,3)
(3,2) (4,4)
(7,7)
0,+∞
(3,3)
vs (3,2)
(10,6)
v1
vs ,4
v5 (5,3)
v1 ,1
(4,4)
(2,2)
v4
v5 ,1
(8,5)
vt
v4 ,1
: vt← v4← v5← v1 ← vs 1
第22页 共49页
: vt← v4← v5← v1 ← vs 1
vs ,1
v2
(1,1)
v3
(7,7)
(4,4)
(3,3) (4,4)
0,+∞
vs
(3,3)
(2,2) v5 (5,5)
vt
(3,3)
(10,7)
(8,7)
v1
(4,4)
v4
vs ,3
f 中不存在增广链，即为最大流，其流量
V( f ) = 4+3+3+4 = 14
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应用实例
（10,10）
（10,10） （15,0）
v2
(1,1)
v3
(4,3)
(3,2) (4,4)
(7,7)
0,+∞
(3,3)
vs (3,3)
(10,7)
v1
vs ,3
v5 (5,4)
v2 ,1
(4,4)
(2,2)
v4
v5 ,1
(8,6)
vt
v4 ,1
: vt← v4← v5← v2 ← vs 1
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: vt← v4← v5← v2 ← vs 1
“哥尼斯堡 7 桥”难题最终在 1736 年由数学 家 Euler 的论文“依据几何位置的解题方法”给 予了完满的解决。
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图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛， 内容极其丰富。图论中研究的图并非几何学中的 图，也不是绘画中的图。图论关心的仅仅是图中 有多少个点，点与点之间有无边连接。
例6-3
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2、数学模型
第14页 共49页
3、基本概念
➢ 源、汇、中间点
➢ 弧容量、流量
(ij, fij)
vi
vj
➢ 可行流 —— 流量 V（ f ）
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4、最大流：流量 v( f ) 达到最大的流 f 。
➢弧
✓ 饱和弧、非饱和弧 ✓ 零流弧、非零流弧 ✓ 正向弧、反向弧
第六章 网络模型
重点：图的基本概念、最小支撑树问题、 最短路问题，最大流问题、网络分析
难点：最大流-最小截问题
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十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷. 格尔河），河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中 的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样一个游 戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥， 回到原出发点，而每座桥只允许走一次。没有人 想出走法，又无法说明走法不存在，这就是著名 的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
（15,15）
（20,20）
（20,10）
（15,5） （5,5）
第25页 共49页
最短路和最小费用流问题
最大流问题反映了网络的流通能力，没有考虑 运输费用的多少，实际问题中经常需要寻求网络 中总费用达到最小的方案，即最小费用流问题。
1、最短路
➢ 网络中两点间的各边权值之和达到最小的路。 ➢ DijkStra 标号法 ➢ Warshall－Floyd 算法
例6-4 用标号法求下图的最大流。
vs ,5
v2 (6,6) v3
: vt← v4← v1→ v2← vs
(8,3)
0,+∞
vs (7,7)
(3,3) (2,0)
v1 (8,4)
-v2 ,3
(7,6)
(3,0)
v4
v1 ,3
(10,4)
vt
v4 ,3
3
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: vt← v4← v1→ v2← vs 3
第3页 共49页
第4页 共49页
1. 图与子图
第5页 共49页
2. 关联与相邻 3. 链与圈
第6页 共49页
7. 树
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二、网络分析
1. 最小部分树（支撑树）
➢ 方法：破圈法
权和最小
避圈法
➢ 应用
2. 最大流
3. 最短路
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例6-1 用破圈法及避圈法求下图的最小生成树。