( ) 当 a ＞ 0 时，易见 f（ x） 在 0，3a 内单调
( ) 减，在
a 3
，+
∞
内单 调 增． 又 函 数 f（x） 在
( ) （0，+ ∞ ） 内有且只有一个零点，故 f a = 3
－ a3 + 1 = 0，解得 a = 3． 27
综上，填 3．
例 5 （2018 年 全 国 高 考 题 ） 已 知 函 数
7 4
，+
∞
( ) （B）
－
∞
，7 4
( ) （C） 0，74
( ) （D）
7 4
，2
解 函数 y = f（ x） － g（ x） 的零点，即函
数 h（x） = f（x） + f（2 － x） 的图象与直线 y =
b 的交点的横坐标．
由 h（2 － x） = h（ x） 知，函数 h（ x） 的图象
得：为使函数 f（x） 的图象与直线 y = － x － a 有 两个不同的交点，需 － a ≤ 1，即 a ≥ － 1，故选 C．
例 7 （2018 年浙江高考题） 已知 λ ∈ Ｒ，
{x － 4，x ≥ λ，
函数 f（x） =
若函数 f（x）
x2 － 4x + 3，x ＜ λ．
恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是
+ ∞ ） 没有零点． （ ii） 若 h（2） = 0，即 a = e2 ，h（ x） 在（0， 4
+ ∞ ） 只有一个零点．
（ iii） 若 h（2） ＜ 0，即 a ＞ e2 ，由 h（0） = 4
1，得 h（ x） 在（0，2） 有一个零点；又 x ＞ 0 时，ex
＞
x2 ，所以 h（4a）
部 分，且 由 x = 1 处 的 导 数 （ lg x） ' x =1 =
1
= 1 ＜ 1，知 f（ x） 与 lg x 图象则
xln 10 x =1 ln 10
在 x = 1 附近仅有一个交点，因此函数 g（ x） 的
零点个数为 8，故填 8．
( ) 则 b 的取值范围是
7 4
，2
，故选 D．
3． 利用对称性
=
1
－
16a3 e4a
=
1
－
16a3 （ e2a ） 2
＞
1
－
16a3 （2a） 4
=1－ 1 a
＞ 0．
故 h（ x） 在 （2，4a） 内有一 个 零 点，因 此
h（ x） 在（0，+ ∞ ） 内有两个零点．
综上，f（ x） 在（0，+ ∞ ） 内只有一个零点 时，a = e2 ．
4
评注 已知函数零点的个数求参数值的
考的热点问题． 现结合近几年高考题，对函数
零点个数问 题 题 型 及 解 题 思路 进 行 一些探
究，供参考．
一、判断函数零点的个数
1． 数形结合
例 1 （2015 年江苏高考题） 已知函数
f（x） = | ln x | ，
{0，0 ＜ x ≤ 1，
g（x） = | x2 － 4 | － 2，x ＞ 1，
的零点个数为 4，填 4．
评注 在函数图象易画出时，判断函数
零点的个数问题可以通过解方程求出实数根 的个数或 利 用 函 数 的 图 象 求 出 交 点 的 个 数， 可求得函数零点个数．
2． 利用周期性
例 2 （2017 年江苏高考题） 设 f（ x） 是定
义在 Ｒ 上且 周 期 为 1 的 函 数，在 区 间［0，1）
该函数在（0，1］单调减，在（2，+ ∞ ） 单
调增． 在（1，2］上，其导函数 （ f（ x） + g（ x） ） '
= 1 － 2x = 1 （1 － 2x2 ） ＜ 0，因此该函数在
x
x
（1，2］上单调递减，函数图象如图 1 所示．
由图象可知，函数 y = f（ x） + g（ x） 的图
象与直线 y = ± 1 有 4 个交点，因此函数 h（ x）
关于直线 x = 1 对称，因此，只需考察其在区间
［1，+ ∞ ） 上的图象，然后通过对称变换即可
得到函数 h（x） 的图象．
按 x 与 1、2 的大小分类讨论，可得当 x ≥ 1
时，
h（ x）
{（2 －| x | ） + （2 －| 2 － x | ），1 ≤ x ≤ 2，
= （x － 2）2 + （2 －| 2 － x | ），x ＞ 2，
{2，1 ≤ x ≤ 2，
= x2 － 5x + 8，x ＞ 2，
故函数 h（x） 的图象如图 3 所示． 从而若函数
h（x） 的图象与直线 y = b 有 4 个不同的交点，
·36·
二、利用函数零点的个数讨论参数问题
1． 求参数的值
例 4 （2018 年江苏高考题） 若函数 f（ x）
= 2x3 － ax2 + 1（ a ∈ Ｒ） 在（0，+ ∞ ） 内有且
1 ≤ x ＜ 10 的情况．
在区间［1，10） 内，当 x ∈ Q 且 x Z 时，
设x =
q p
，p、q
∈
N*
，p
≥
2，且
p、q
互质．
若lg x ∈ Q，则由 lg x ∈ （0，1） ，可设lg x
=
n m
，m、n
∈
N*
，m
≥
2，且
m、n
互质，则
n
10 m
( ) = q ，得 10n =
q
m
{ { 上，f（x） =
x2
，x
∈
D， 其中集合
D
=
xx
x，x D，
} =
n
－ n
1，n ∈ N*
，则函数 g（ x） = f（ x） － lg x
的零点的个数是
．
解 由于 f（ x） ∈［0，1） ，当0 ＜ x ＜ 1 时，
lg x ＜ 0；当 x ≥ 10 时，lg x ≥ 1，因此只需考虑
例 3 （2015 年 天 津 高 考 题 ） 已 知 函 数
{2 －| x | ，x ≤ 2，
f（x） =
g（x） = b － f（2 －
（ x － 2） 2 ，x ＞ 2，
x） ，其中 b ∈ Ｒ． 若函数 y = f（ x） － g（ x） 恰有
4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）
( ) （A）
只有一个零点，则 a 的值为
．
解 f '（x） = 6x2 － 2ax = 2x（3x － a）（a
∈ Ｒ）．
当 a ≤ 0 时，有 f '（ x） ＞ 0 在（0，+ ∞ ） 内
恒成立，f（ x） 在（0，+ ∞ ） 内单调增；又 f（0）
= 1，此时 f（ x） 在（0，+ ∞ ） 内无零点，舍去．
（）
（ A） ［－ 1，0）
（ B） ［0，+ ∞ ）
（ C） ［－ 1，+ ∞ ） （ D） ［1，+ ∞ ）
解 函数 g（ x） 存在 2 个零点，即函数
f（x） 的图象与直线 y = － x － a 有两个不同的
交点．
在平面直角坐标系内画出函数 f（x） 的图
象与直线 y = － x － a，如图 4 所示． 由图象易
，此式左边为整数，右边
p
p
为非整数，矛盾．
因此，lg x Q，故 lg x 不可能与每个周期
内 x ∈ D 对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每
·35·
高中数学教与学
2019 年
个周期内 x D 部分的交点，画出函数示意
图，如图 2 所示． 图中交点除（1，0） 外其他交
点横坐标均为无理数，属于每个周期 x D 的
（4，+ ∞ ） ． 评注 已知分段函数零点的个数，求参
数的取值范 围 的 问 题，要 根 据 自 变 量 的 值 分 别讨论函数在每一段上的性质． 从直线动态 的变化过程中，观察函数零点的个数情况，从 而建立关于参数的不等式或不等式组解得参 数的范围．
·37·
则函数 h（x） = | f（x） + g（x） | － 1 的零点个数
为
．
解 函数 h（x） 的零点个数即方程 | f（x）
+ g（ x） | = 1 实数根的个数，即函数 y = f（ x）
+ g（x） 的图象与直线 y = ± 1 的交点个数．
易知
{ － ln x，0 ＜ x ≤ 1，
f（x） + g（x） = ln x + 2 － x2，1 ＜ x ≤ 2， ln x + x2 － 6，x ＞ 2．
．Leabharlann 解 由 x － 4 = 0 得 x = 4；由 x2 － 4x + 3 = 0，得 x = 1 或 x = 3．
因为函数 f（ x） 恰有 2 个零点，如图 5、6 所 示． 根据函数图象，可得
{ { 4 ＞ λ， 4 ＜ λ， 1 ＜ λ，或 1 ＜ λ， 3 ≥ λ， 3 ＜ λ，
( 解得 1 ＜ λ ≤ 3 或 λ ＞ 4． 故填 1，3］∪
第5 期 ○高考之窗○
高中数学教与学
函数的零点个数问题探究
陈东
（ 甘肃省高台县第一中学，734300）
函数是高 中 数 学 的 重 点 内 容 之 一，函 数
的零点又是 高 中 数 学 的 一 个重 要 知 识交汇
点，它将方程的根 、函 数 图 象 交 点 的 横 坐 标 及