第三章 轴对称、三维和高次单元§ 3-2空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完 全相同。

由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方 程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题 和平面问题大得多。

它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。

这些问题都给三维 有限单元法的具体运用带来许多困难。

和平面问题一样，空间有限单元法采用单元 也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体 单元。

采用四面体单元和线性位移模式来处理空 间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。

在采用四面体单元离散化后的空间结构物 中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处 以空间铰相互连接。

四节点四面体单元仅在四个 顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。

每个单元的 计算简图如图3-7所示。

在位移法中，取节点位移为基本未知量，四 节点四面体单元共有十二个自由度 （位移分量），其节点位移列阵为U i V i W i (i,j,m)相应的节点力列阵为U i Viw i U j V j w jU mTW m U p V p W p其子矩阵图3-7空间四面体单元F i F j F m F p其子矩阵F i U i V i w一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标 X 、y 、z 的函数。

当单元足够小时， 单元内各点的位移可用 简单的线性多项式来近似描述， 即u1 2 X3y 4Zv56 X7y 8Z(3-49)w0 10Xny12Z曰2，…，12是卜二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。

假定节 点 i,j,m,p 的坐标分别为(x i y i Z i )、、(xj y j z j )、(X m将它们代入 (3-49)式的第一式可得各个节点在X 方向的位移U i1 2X i 3Y i4Zu j1 2X j3Y j4Z jU m 1 2X m 3Y m 4 Z mU p12X p3Y p4 Z p解上述线性方程组，可得到1 ,2 ,3 ,4 , 再代入U6V[(a i bXcy d i Z)U i (a jb j x(a m b m X C m yd m z)U m(a p b p X C(3-50)y d p Z )U p ] 1 X i Y i Z i 1 X j y j Z j 1 X m y m Z m1X PY PZ P(3-52)(3-50)式，得y m Z m)、(X p y p Z p )，5y 3)5 (3-51)式中1 ,其中V 为四面体ijmp 的体积，a,b i ,…，c p ,d P 为系数。

为了使四面体的体积 v 不致为负值，单元四个节点的标号 在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照3-1中单元那样。

综合表达式(3-51)、(3-54)及(3-55)，可以将位移分量表示成为Tef u v w[ N ]IN i IN j IN m IN pe(3-56) 其中1是三阶的单位矩阵， [N]为形函数矩阵，而各个形函数为N i(a i b i x c i y d i z)/6V(i,m) (3-57) N j (a b i x c y d i z)/6V(j, p)1 ,5 ,6代表刚性移动U 0 , V 0 , W o ;系6个系数反映了刚性转动W x , W y , W z 和常量剪应变。

这就是说，12个系数充分反映了单元的刚体位移和常量应变。

同时，可以证明： 由于位移模式是线性的， 两个相邻单元的共同边界在变形过程中，始终是相互贴合的，使 得离散的模型变形中保持为连续体。

这样，选用的位移函数满足收敛的充分必要条件，保 证了有限单元法解答收敛于精确解。

a i(i,j,m,p)(3-53)C i,j,m,pi T j T m 的转向转动时, 必须按照一定的顺序：向 p 的方向前进，象图用同样方法, 可以得出其余二个位移分量:16V(a m 1 6V(a m [(a i b i x cy d i Z)v (a j b j X C j y d j Z)V jb m X C m Yd m Z)V m (a p b p X C p y d p Z)V p ][(a i b i x qy d j Z )w (a j b j X c I Y d j Z)W jb m X C m Yd m Z)W m (a p b p X C p y d p Z)W p ]和平面问题相似，(3-49)式中的系数12代表常量的正应变；其余 (3-54)(3-55)二、载荷移置空间问题的单元载荷移置和平面问题一样，也是根据静力等效原则，将不作用在节点上的集中力、体力、面力移置成作用在节点上的等效节点载荷。

其通用公式的形式和平面问题也是一样的，只不过多出一维空间分量。

1.集中力T设单元上某点(x,y,z)作用有集中力P P x P y P,则仍然得到等效节点载荷R [N]T P (3-58)这里 eR [X i Y 乙X j Y j Zj X m Y m Z mX p Y p Z p]2.分布体力单元上作用有分布体力P [X Y Z]T，则R e[N]T PdV (3-59)其中dV是单元中的微分体积，对于直角坐标糸上式为R e[N]T p dxdydz (3-60) e3.分布面力单元的某一边界面S上作用有一分布面力P X Y Z TR e [N]T P dA其中dA是边界面S上的微分面积。

4.常见载荷的移置上列公式是空间问题载荷移置的通用公式。

对于四节点四 面体单元，由于其采用线性位移模式， 采用直接计算虚功的方 法求出节点载荷比较简单。

下面介绍常见的二种载荷的移置。

⑴重力四面体单元的自重为 W 作用在质心C 处(如图3-8)。

为 求得节点载荷X,Y i ,Z i ,可分别假想发生 u * 1 , V * 1或 w ； 1的虚位移。

在U i* 1或V ； 1时，整个单元上各点的均没有 z 方向上的虚位移，重力 W 不做功，所以 X=Y i =O 。

*1 “Wwc-，Zi 44对于其余三个节点可得同样结论，于是有e R i0 0TW(i,j,m,p)4即，对于四节点四面体单元承受的重力载荷，只需要把共(2)界面压力设四面体的一个边界面ijm 上受有一线性分布的压力所得各节点载荷的方向和分布力的方向相同，要求各节点载荷分量还需乘上相应的方向余 弦。

由上述面力移置结果，可求出任意线性分布面的等效节点载荷。

如在 ijm 面受有线性分布面力在各点强度分别为q i , q j ，q m ,时，在i 节点的等效载荷为作用于1/4。

于ijm 面上的d 点， 二是可得d 点到ij边和im 边的距离分别为 m 至U ij 及j 到im 边的距离的TTePP P c1,1 1Ri-0q ijm 1 -0 (3-62)2 4 46 j2 2q i ,0,0。

很容易看出，该力向p 点移置的等效节点力为零。

由水力学知，总压力P 1q i ijm ,3当W i 1时，jmp 面上各点的虚位移为零，即*1W b 0，又因bc —bi ,所以有4 (3-61)1移置到每个节点上即可。

4P ,共在三个节点上的强度分别为图3-8重力移置111P (q i q j q m) jm (i，j，m) (3-63)6 2 2三、应力应变矩阵空间问题几何方程为yTz x y u v wx y zu vy xu z wyw ux zz将四面体单兀之位移表达式(3-52)、(3-54) 和(3-55) 代入几何方程，即得单兀应变。

用节点位移可表示为 e[B]E 3i B j B m B p e(3-64)式中应变矩阵子矩阵为6X 3矩阵:b i 0 00 C i 01 0 0 d i[B i] c (i，j，m,p) (3-65)6V c i b i 00 d i qd i 0 b i由上式可以看出，每一个单元的应变矩阵是一个常量矩阵；因此，采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。

这与平面问题中的三角形单元是一样的。

而与平面问题的不同之处仅在于应变矩阵的阶数不同。

将表达式(3-16)代入空间问题的物理方程，即可得出用单元节点位移表示的单元应力:e e[D] D[B] [S] (3-66)式中弹性矩阵［D］为应力矩阵[D]1 10 01 22(1 )0 0 00 0 0称1 22(1 )1 22(1 )[S]A1S i S j S m S p (3-67)A2b iAb[S i]E(1 ) Ab6(1 )(1 2 )V A2 GA2d iA©A©C i A©A©d i(i,j,m,p)A2b i 0A2d iA2G0 A2b i［S］是常量矩阵，所以，四面体单元是显然，式(3-68)中各元素均为常量，应力矩阵常应力单元。

四、单元刚度矩阵空间问题的单元刚度由虚功方程导出。

假设该单元发生某虚位移，相应节点虚位移为e。

此时相应的虚应变为将上式及式(3-66)代入虚功方程，有* e T e *eTe( )F ([B])[D][B] dxdydzv通过与平面问题一样的处理，并注意到矩阵 [B]中的元素为常量，可以得到F e [B]T [D][B]dxdydz e [B]T [D][B]eV [K]e e (3-69)v式中，[K]e为单元刚度矩阵:[K]e [B]T [D][B]dxdydz [B]T [D][B]V(3-70)e将式(3-64)和(3-68)式代入，可以得出其中，[K rs ]e为3X 3阶方阵:(r,s=i,j,m,p) (3-72)有了单元节点力和节点位移之间的关系之后，通过分析每个节点的平衡条件可得到这个矩阵形式的方程实际上代表了关于r 节点三个坐标轴方向的力平衡方程式。

将关[B]K HK ij K im K ip [K]e心K jjK jm © Kmi KmjKmm K mpK pi K pjKpmK pp(3-71)[K rs ]eE(1 ) 36(1 )(1 )VbR s A 2(g d r d s ) AGb s A 2b r C s AdR sAbAAb r C s AC r C s C r C s A 2(bQ s d r d s )Adi sAcdAb r d s A z d r b s AC r d s A z d r C s d r d s A 2(b r b s C r C s )[K rs ]e se s i,j ,m, pR re于结构物所有节点的线性方程式集合起来，可以得到[K]式中代表整个结构的节点的位移，是所求之基本未知量；R 代表整个结构的节点载荷；[ K ]为整体刚度矩阵，其是由每个单元刚度矩阵升阶后组集得到，即NEe[K] [K]ee1其为3NP阶方阵。