第二节用样本估计总体
时间：45分钟分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·重庆卷)如下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()
A.0.2 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为4
＝0.4，故选B.
10
答案 B
2．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.
答案 D
3．(2013·四川卷)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是()
解析由茎叶图知，各组频数统计如下表：
分组
区间
[0,5)[5,10)
[10，
15)
[15，
20)
[20，
25)
[25，
30)
[30，
35)
[35，
40) 频数
统计
1142433 2
答案 A
4．(2014·河南郑州预测)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()
A．甲B．乙
C．甲乙相等D．无法确定
解析由茎叶图可知甲数据比较集中，所以甲地浓度的方差小，选A.
答案 A
5．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
最佳人选是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析 由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.
答案 C
6．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0＜α＜1
2，则n ，m 的大小关系为( )
A ．n ＜m
B ．n ＞m
C ．n ＝m
D ．不能确定
解析 依题意得x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ， x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m ＝(m ＋n )z ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ，
所以n x ＋m y ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y .
所以⎩⎨
⎧
n ＝(m ＋n )α，m ＝(m ＋n )(1－α).
于是有n－m＝(m＋n)[α－(1－α)]
＝(m＋n)(2α－1)．
，所以2α－1＜0.
因为0＜α＜1
2
所以n－m＜0，即n＜m.
答案 A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．某校举行2014年元旦汇演，九位评委为某班的节目打出的分数(百分制)如茎叶统计图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为________．
解析根据茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，得到的数据为七个，中位数为85.
答案85
8．(2014·武汉调研)
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并
将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．则
(1)图中的x ＝________；
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿．
解析 由频率分布直方图知20x ＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x ＝0.012 5.上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.12×600＝72人可以申请住宿．
答案 0.012 5 72
9．(2014·安徽联考)已知x 是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数，且1,3，x ，－y 这四个数据的平均数为1，则1
x ＋y 的最小值为__________．
解析 由已知得3≤x ≤5，1＋3＋x －y
4＝1， ∴y ＝x ，
∴1x ＋y ＝1x ＋x ，又函数y ＝1
x ＋x 在[3,5]上单调递增，∴当x ＝3时取最小值10
3.
答案 103
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·衡阳调研)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
10天生产中出次品的平均数较小？出次品的波动较小？
解x甲＝1
10×(0×3＋1×2＋2×3＋3×1＋4×1)＝1.5，
x乙＝1
10×(0×2＋1×5＋2×2＋3×1)＝1.2，
s2甲＝1
10×[(0－1.5)
2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋…＋(2－1.5)2＋(4－
1.5)2]＝1.65，
s22＝1
10×[(2－1.2)
2＋(3－1.2)2＋(1－1.2)2＋…＋(0－1.2)2＋(1－
1.2)2]＝0.76.
从结果看乙台机床10天生产中出次品的平均数较小，出次品的波动也较小．
11．(2013·新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X ) ＝800X －39 000.
当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以T ＝⎩⎨
⎧
800X －39 000，100≤X <130，
65 000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
12．(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1、x 2, 估计x 1－x 2的值．
解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知，30
n ＝0.05，即n ＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝5
6.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2.
根据样本茎叶图可知，30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此x ′1－x ′2＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分．。