2016年宁波市高三“十校”联考数学（理科）说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.球的表面积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a R ∈,则“1a <”是“11a>” （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 已知集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，则集合{|x x M ∈且}x N ∉为 （ ▲ ） A . (0,3] B ．[4,3]- C ．[4,0)- D ．[4,0]-3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ▲ ）A ．BC .D4.已知抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为30，则||||AF BF 等于 （ ▲ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．已知命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数(2)f x -为奇函数，则()f x 关于(2,0)-对称.则下列命题是真命题的是 （ ▲ ）A ．p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（ ▲ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0n S > D ．若对任意*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列7．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，若OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，则λ的值为 （ ▲ ）A . 32B . 2C . 13D .128.已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.若()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（ ▲ ）A．(5)--+∞，B．5)+∞， C．(51)-， D．51)， 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知圆22:250M x y x +++-=，则圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 已知单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项， 则公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ . 11.已知函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，则函数()f x 的最小值为 ▲ ， 函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 已知实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ .13. 已知,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，则cos x = ▲ . 14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 ▲ . 15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．18．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.1B1C1ACBADM19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，求k 的取值范围．20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2016年宁波高三“十校”联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x += 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 7515三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度. 解：（Ⅰ）(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A Cb B B--∴==4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分（Ⅱ）5b c a c ==<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅= 解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分2AD DC =1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅将3a =和5c =代入得：21099BD =BD ∴……………………………………………14分17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ；1CCD（Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，112AA A D ==，∴111AC AC AC ==， 又 11,2BC AB BA ===，∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BABA B =，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直，以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，∴1111(2,0,0),(0,0,1),((2,0,1),(1,0,1),(2B C A A C D M -5分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m，则0BA x ⋅=-+=m ，0BC z ⋅==m ，取=m ， ∵1(,2MD =，300MD ⋅=+=m ， ∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分BAMxyz（Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=， 1110AC x z ⋅=+=m ，110AA x ⋅==m ， 取=n ，又由（Ⅰ）知平面ABC 的法向量为=m ，设二面角1B AC A --为θ，∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.解：（Ⅰ）01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数”22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间”为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求 （此区间没说明，扣1分）……………………7分xOy（Ⅱ）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，则(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，则()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，则()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A Py y b k k x a x a a ∴==-=--+ 12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分 （Ⅱ）假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k+-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……（1）式…………………………10分由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+， 所以02949km x k =+，代入1y x m k=-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……（2）式…………………12分将（2）式代入（1）式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞.20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+. 解：（Ⅰ）令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分（构造常数列等方法酌情给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n-===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n∴=++++-+++++++-+++（）（）111122n T n n n∴=+++++……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++ 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++（仅在12n k +=时取等号） 4231n n T n ∴≥+即结论231n nT n ≥+成立………………………………15分 （数学归纳法按步骤酌情给分）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。