第8讲 二次函数的图象与性质一——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质 ()k h x a y +-=22y ax bx c =++()()21x x x x a y --=开口方向0a >⇔⇔⇔开口向上函数有最小值顶点为最低点0a <⇔⇔⇔开口向下函数有最大值顶点为最高点对称轴 直线x h= 直线2b x a=-直线122x x x +=顶点坐标()h k ，24()24b ac b a a--， (2-()121224x x a x x +-，)增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少；最值当x h =时，y k =最值当2bx a=-时，244ac b y a-=最值当122x x x +=时，y 最值=2-()124a x x -（或用代入法）(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2b x a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0． (4)顶点坐标24()24b ac b a a--，． (5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．学-科网(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； -1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。

方法二：直接法如果y 是x 的函数，则可以用直接法。

平移规律如下：左右平移变x ，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找. （六）对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称的解析式为2y ax bx c -=++，关于y 轴对称的解析式为2()()y a x b x c =-+-+，关于原点轴对称的解析式为2()()y a x b x c -=-+-+，在顶点处翻折后的解析式为2()y a x h k =--+（a 相反，顶点坐标不变）.（七）二次函数的最值 （1）一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。

（2）给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

（3）分段函数求最值根据（2）中的方法求出每一段的最大（小）值，最后比较得出整个函数的最大（小）值。

（八）二次函数与不等式（组）若2y ax bx c =++，则0y >的解集是x 轴上方的图象对应的自变量x 的取值范围，0y <的解集是x 轴下方的图象对应的自变量x 的取值范围。

二——题型解析（一）对二次函数的性质的考查例1下列关于函数1062+-=x x y 的四个命题： ①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3﹣n 时的函数值；③若n ＞3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n ﹣4）个； ④若函数图象过点（a ，y 0）和（b ，y 0+1），其中a ＞0，b ＞0，则a ＜b ．其中真命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ （二）对二次函数的图象的考查例2 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（92-，1y ），（52-，2y ），（12-，3y ）是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 （三）对二次函数与方程、不等式相结合的考查 例3已知关于x 的一元二次方程221(1)(1)02x m x m -+++=有实数根． （1）求m 的值；（2）先作221(1)(1)2y x m x m =-+++的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y =2x +n （n ≥m ）与变化后的图象有公共点时，求24n n -的最大值和最小值． （四）对二次函数的增减性的考查例4 如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3； ③3a+c＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 （五）对二次函数图象的平移的考查例5 把抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 _____ （六）对二次函数图象对称的考查：例6如图，二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）A ．2a ﹣b=0B ．a+b+c ＞0C ．3a ﹣c=0D ．当a=12时，△ABD 是等腰直角三角形 例7如图，抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．（七）对二次函数的最值的考查例8如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3）．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为 ．三——方法点睛（一）数形结合思想由于二次函数（数）的图像是抛物线（形），故有二次函数−−→←−−形数抛物线的内在联系，二次函数的性质由图像反映出来，反之抛物线刻画二次函数的性质，能直观、形象地反应问题，因此数形结合思想有着广泛的应用。

（二）分类讨论思想分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。

正确的分类，必须是周全的，既不重复，也不遗漏。

（三）转化（或化归）思想转化思想：就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。

如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题。

将四边形问题化为三角形问题等。

（四）函数及方程思想在实际中，根据已知条件、公式和定理，建立函数或方程等数学模型，再根据它们的性质或图像解决问题，就是函数和方程思想。

（五）二次函数的增减性在对称轴两边发生变化，如果所给点在对称轴同侧，则可由增减性直接判断，若所给点在对称轴两侧，则可用对称轴122x x x +=来进行转化，从而是所有点都在对称轴同侧. 四——随堂小练1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）A ． c ＞0B ． 2a+b=0C ． b 2﹣4ac ＞0D ． a ﹣b+c ＞03．当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式322+-x x 的值相等，则n m x +=时，代数式322+-x x 的值为 ．4．设抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①abc ＞0，②a ﹣b +c ＜0，③2a =b ，④4a +2b +c ＞0，⑤若点（﹣2，1y ）和（13-，2y ）在该图象上，则12y y >．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．6．二次函数213222y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．07．受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7成本（元/件）56 58 60 62 64 66 688至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．8. 已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线kyx交于点C（1，a）．（1）试确定双曲线的函数表达式；（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．五——预测提升1. 如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①abc ＞0，②4a +2b +c ＞0，③24ac b -＜8a ，④13＜a ＜23，⑤b ＞c ． 其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤ 2.在同一坐标系中，一次函数2y mx n =-+与二次函数2y x m =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3.二次函数223y x x =--的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）A ．函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）B ．顶点坐标是（1，﹣3）C ．函数图象与x 轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小4. 抛物线22221y x x =-+与坐标轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.如图，观察二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①0a b c ++>，②20a b +>，③240b ac ->，④0ac >． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6.某同学在用描点法画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A ．﹣11 B ．﹣2 C ．1 D ．﹣57. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线256y x x =++，则原抛物线的解析式是（ ）A ．2511()24y x =---B ．2511()24y x =-+-C ．251()24y x =---D ．251()24y x =-++8. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）和正比例函数23y x =的图象如图所示，则方程22()03ax b x c +-+=（a ≠0）的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定 9. 对于函数mnx x y +=，我们定义11--+='m n mx nx y （n m 、为常数）．例如24x x y +=，则x x y 243+='． 已知：()x m x m x y 223131+-+=． （1）若方程0='y 有两个相等实数根，则m 的值为 ； （2）若方程41-='m y 有两个正数根，则m 的取值范围为 ．10. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，且P =|2a +b |+|3b ﹣2c |，Q =|2a ﹣b |﹣|3b +2c |，则P ，Q 的大小关系是 ．11. 如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．12. 已知关于x 的二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（﹣2，1y ），（﹣1，2y ），（1，0），且120y y <<，对于以下结论：①abc ＞0；②a +3b +2c ≤0；③对于自变量x 的任意一个取值，都有24a b x x b a +≥-；④在﹣2＜x ＜﹣1中存在一个实数0x ，使得0a b x a+=-，其中结论错误的是 （只填写序号）． 13.小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y=a 2x 2+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2+3x ﹣2可知，a 1=﹣1，b 1=3，c 1=﹣2，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x 2+mx ﹣2与y=x 2﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n ）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）互为“旋转函数．”14.已知二次函数2y x bx c =++（ b ，c 为常数）．（Ⅰ）当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； （Ⅲ）当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．15.如果抛物线c bx ax y ++=2过定点M （1，1），则称此抛物线为定点抛物线。