HPM 视角下的概念教学
--------------以“弧度制”为例
法国哲学家孔德指出“个体教育必然在其次第连续的重大阶段，效仿群体的教育”英国教育家斯宾塞将其解释为“个体的知识发生必须遵循人类的知识发生过程”波利亚也以前说过：在教一门科学分支（理论、概念）时我们应该让儿童重演人类心理演进的重大步骤。

当然，我们不应该让她重复过去一千零一个错误，而仅仅重复重大步骤。

什么是重大步骤？这需要对历史做出诠释。

鉴于此，波利亚提出：只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好地判断。

法国数学家Poincare 更明确的指出：数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序体现给学生，教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。

1、基于HPM 视角的教学设计
“人教A 版”的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的．如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不但合情合理，甚至很有人情味．”教育取向的数学史研究就是为了让概念来的更自然一点，更有味一点，要让学生感受到每个概念的产生、形成的过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；
弧度制概念就是这样，一个新概念的学习，首先要解决的问题是，为什么要学习这个概念，这个概念从哪来？要到哪去？下面我们就以HPM 的视角来看看弧度制概念的教学。

弧度制的演变经过了漫长的历史过程，我不能让学生重新经历这个过程，而是要对历史实行重构，这也是数学史融入数学教学的重要方面，即如何把学术形态的数学史料转化为教育形态的教学材料，需要对古代数学思想、方法做认真的思考和清理，实行加工和创造，深入挖掘材料背后隐含价值，使之适合学生的心理特点，并探索如何在课程和教学中将其具体展示。

（一） 概念引入：概念引入一般由问题入手，问题情境的设计要求能够引起学生地认知冲
突。

回忆初中1度角是如何定义的？
规定把圆周平均分成360份，每份所对的圆心角称为1度角。

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制
角度制是度量角的一种单位制。

单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制“米”“尺”“仗”，而且同样对于长度还有不同的度量方式，例如我国三国时期(公元三世纪初)王肃编的《孔子家语》一书中记载有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。

”那么对于角的度量除了角度制还有其它的度量方法吗？
问题1：一块矩形土地长是100米，宽是15仗，试计算土地面积。

问题2：在等式2130sin =
中，30和21的度量单位分别是什么？进制一样吗？ 问题3：计算''''''362734302435 -
设计意图：问题1中长和宽的单位不一样，不能直接计算，具体操作起来不太方便，
问题2中30的度量单位是“度”，60进制的，2
1的度量单位是长度单位，进制是十进制，在一个等式中有两个度量单位，而且进制还不相同，这也是很不方便的，问题3是为了让学生更直接的感受到角度制带来的不便，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，因为运算进制非十进制，总给我们带来很多困难，这更能引起认知冲突，激发学生思考，问题怎么解决呢？------关键在于度量单位统一、进制统一。

历史上正是因为角度制的种种不便，才促动了弧度制概念的产生，但统一弧长与半径的思想从萌芽到产生经历了千年之久，这样的设计是为了激发学生的思考，让学生经历概念产生的磨难和困惑
（二） 探索研究：如何统一度量单位，统一进制？
问题4：角度制中将圆周分成360等份，那可不能够分成其它等份呢？
设计意图：让学生感知360等份是有偶然性和主观性的，并不是唯一的分法，中国古代的《周髀算经》就把圆周分成4
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份实行弧长计算，也为接下来的π2等份圆周做铺垫。

问题5：我们在初中学过圆周长的计算公式r C π2=，变形能够得到π2=r C ，你知道式子所表示的意义吗？
设计意图：引导学生理解，将圆周π2等份，每份的长度是半径r ，换句话说，若以r 作为单位长度，就将圆周分成π2份，这实际上是欧拉的思想，1748年欧拉提出用半径为单位来度量弧长，整个圆周的长就是π2个半径，半圆周的长就是π个半径，所对的圆心角的正弦为0，记作0sin =π，41圆周长是2π个半径，所对圆心角的正弦为1，记作12
sin =π。

这就是现代的弧度制。

“弧度”(radian)是爱尔兰工程师Thomson 首先使用由radius(半径)与angle(角)，两词合成。

用半径度量弧长，就统一了半径和弧长的单位和进制。

这就是度量角的另外一种单位制——弧度制。

(三)、概念形成：
1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

它的单位符号是rad ，读作弧度。

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。

问题：（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？零角呢？
（3）在弧度制下弧长的计算公式应该怎么写呢？扇形面积公式？
2.弧度制与角度制之间的互化
)(180(2360rad rad ππ== ）
30.57180)(1)
(01745.0)(1801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=≈=ππ
rad rad rad
3.例题讲解与知识的巩固
例11 把'3067 化成弧度
解： )5.67(3067'=
∴ )(83)5.67(1803067'rad rad ππ
=•= 例2 把)(53rad π化成度 解： 1081805
3)(53=⨯=
rad π 注：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”能够省略 如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦，但要注意省去单位后还是一个量。

2.无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一 一对应的关系 (四)、概念理解
角度制与弧度制的共同点都是要等分圆周，角度制把圆周分成360等份，每一份的弧称为1度的弧，每一度的弧所对的圆心角称为1度的角，进制为60进制，这种分法是历史形成的一种规定，为了统一半径和弧长的单位，用半径来度量弧长，有了另外一种分圆周的方法-----将圆周2π等份，每一份长度长等于半径，每一份所对圆心角称为1弧度角。

把圆周分成π2等份是一种客观规律，更科学，合理，角度制的基本特点是用特殊角来度量角，即用“自己”量“自己”，而弧度制是用长度来度量角，是借助其它量来度量的，是用“别人”来量“自己”。

角度制与弧度制比较
五、概念应用
1、用弧度制表示：
（1） 终边在x 轴上的角的集合
（2） 终边在y 轴上的角的集合
（3） 终边在坐标轴上的角的集合
2、将
1500-表示成απ+k 2),20(z k ∈<≤πα的形式，并指出是第几象限角。

3.若两个角的和是1弧度，此两角的差是1，试求这两个角。

六、课堂小结
（1）弧度制的定义。

（2）角度制与弧度制的互化。

（3）特殊角的弧度数。

结束语：
概念教学要返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目．要让学生参与概念本质特征的生成过程，培养学生持续回到概念去，养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯；增强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路这是概念教学中培养学生的创新精神和实践水平的必由之路．利用数学史实行概念教学，寻找数学史融入数学概念教学的最佳途径，是一条可行而且有效的途径，只有将学术形态的数学史转化成教育形态的数学史，才能让学生感受到“冰冷”的数学概念背后的“火热”的思考。

参考文献：
1,李文林，数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002
2,凌健，李明政.新课程标准下数学史的教育功能[J].宿州教育学院学报2019,15（1） 3,朱哲，宋乃庆.数学史融入数学课程[J].数学教育学报，2008,17（4）
4,王尚志，胡凤娟，付丽.为什么要引入弧度[J].中学数学教学参考，2008,12
5,徐章韬，面向教学的数学知识---基于数学发生发展的视角[M].北京：科学出版社，2019。