、选择题练习十三(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)1. 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。

若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是(A) 竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动;(B) 竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动;(C) 两种情况都作简谐振动；(D)两种情况都不作简谐振动。

d2x解：(C)竖直弹簧振子：m—2k(x I) mg kx( kldt弹簧置于光滑斜面上：m吟dt2k(x I) mg sin kx ()d2x mg),勞dt2d2x kl mg),可dt22 . 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有(A)n n(A) A超前一；(B) A落后一；(C) A超前n;2 2(D) A落后It。

2x3. 一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由之一最大位移这段路程所需要的最短时间为(B)/、T/、T T /、T(A) (B) ; (C) (D) 。

41268解：(A)X A A cos t, X B Acos( t /2)解：(B)振幅矢量转过的角度/6 ,所需时间t平衡位置到二分4.分振动表式分别为x13cos(50 n 0.25 n 和x2为:(A) x 2cos(50 n t 0.25 u);(B)(C) x 5cos(50 n1arcta n —)；2 7(D解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算5./6 T2 /T 124cos(50 n 0.75 n (SI 制)则它们的合振动表达式x 5cos(50 n);A A 2AA COS(20 10) . 32 42 2 3 4cos(0.75 0.25 丄1 Asin 10 A2sin 20丄1 3sin(0.25 ) 4sin(0.75 ) tg - _ -— tg3cos(0.25 )cos 10 A? cos 204cos(0.75 ) 2 tg两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端, 弹簧的伸长分别为5;l2，且h 2 l2，则两弹簧振子的周期之比T1 :T2为(B)(A) 2 ; ( B) 2 ; ( C) 1/2 ; ( D) 1/、2。

解:(B)弹簧振子的周期T 2m 飞mg . mg T 1 K 2I 1l2 T 2 I 126. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为 m 的重物，其自由振动的周期为 T.今已知振子离开平衡位置为 x 时，其振动速度为 v ,加速度为a . 则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是: (B ) 2 2 (A) k mv max / X max ； (B) k mg/x ； (C) k 4 2m/T 2 ； (D) k ma/x 。

解：B7.两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同. 第一个质点的振动表式为 X 1 = A cos( t + ) •当 第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时, 占 八、、 第二个质点正在最大正位 A 为O移处.则 (B ) (A) X 2 Acos( (C) X 2 Acos( 8. 一质点沿 X 轴作简谐振动,2 n )； 2n )； 振动表式为 (B) (D) X 2 X 2 Acos(Acos( 2 4 10 cos(2 位置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 / A 、1 1 (A ) - s ;( B ) s ;86 解：(C)作旋转矢量图t min1 (C ) 一 s ； 2/ /21(D ) —s 。

41/2s二、填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示, 其振动曲线如图所示, 则此简谐 振动的三个特征量为 A =0= 解：由图可知A 10cm 0.1m , T 12s , 2 /T /6s 作旋转矢量得 0 /3 2 •单摆悬线长|，在悬点的铅直下方 周期之比T 1 :T 2为。

解: 3. —质点沿x 轴作简谐振动, (1)若t = 0时质点过x = 0(2)若t = 0时质点处于x £ n)；(B)作旋转矢量图解: )。

tO 1/2处有一小钉，如图所示。

则单摆的左右两方振动 单摆周期T 2 1 2振动范围的中心点为 x 轴的原点。

已知周期为T ,振幅为 处且朝X 轴正方向运动，则振动方程为 X = 丄A 处且向x 轴负方向运动，则振动方程为 2解：作旋转矢量图，由图可知(1) x Acos(—t -);(2) x Acos(— t T 2 T3)A(0)4.有两个相同的弹簧，其劲度系数均为 k , (1)把它们串联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统作 简谐振动的周期为;(2)把它们并联起来，下面挂一质量为 m 的重物，此系统作简谐振动的周 期为解：两个相同弹簧串联，劲度系数为k ，T 2 2m ；两个相同弹簧并联,劲度系数为2k ,T 2 ' m .2 \ k \ 2k动频率为211Hz7 •两个同方向的简谐振动曲线如图所示。

合振动的振幅为 解：作旋转矢量图A 2 A ； x (A 2 A )cos 令- 二、计算题3. 一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为，弹簧的劲度系数 (1)求振动的周期 T 和角频率；(2)以平衡位置为坐标原点。

如果振幅A =15 cm , t = 0时物体位于x = cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求振动的表达式; 式。

5•质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为 时，其振动能量E = 。

解：弹簧振子振动周期 T ,当它作振幅为 A 的自由简谐振动 42m 2T2,振动能量E 尹2下曲6.若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为xiAcoslO n 和 x 2Acos12 n ，则它们的合振15 ,26 ,合振动频率H HZ ,拍频2h 。

，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的深度为h ，然后放手任其运动。

若不计水对木块的粘滞阻力 ,试证明木块作简谐运动，并求振动的周期 T 和振幅 A 。

(水和木块的密度分别为解：木块平衡时：mg ■ . 21h 0|g ,取液面为坐标原点，向下为x 轴正向，当木块浸入水中深度增加 x 时d 2xm —2 dt 2 F 浮 mg , 2I3d^xdt 221I (x h °)g2I21I xgd 2x dt 221gd x x , 2 2Idt 20X0, 2I 1gA ,.x 0 Vo/ 2 hh °，拍频为,合振动的振动方程为1.质量m = 10 g 的小球按如下规律沿 x 轴作简谐振动：x 0.1cos(8 t )(SI) •求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。

解：圆频率 8 (1/s),周期T1/4(s),振幅 A0.1m ,初相2 /3振动速度最大值V max A 20.1加速度最大值a max A 1 振动的能量E丄kA 220.1 1 mv 2 2 max (8 2 0.82.5(m/s),)2 6.4 263(m/s 2) 0.01 2.52 3.125 10 2 Jk 25N m -1。

(3)求振动速度的表达OO/3x解：⑴角频率.k/m .25/0.25 10(1/s),T 2 / 0.2 (s)(2) 作旋转矢量图，由图可知0/3x 0.15cos 10t —(SI 制)，(3) v 1.5sin 10t —(SI 制)3 34. 一个弹簧振子作简谐振动，振幅 A 0.2m，如弹簧的劲度系数k 2.0N/m，所系物体的质量m 0.50kg，试求：(1)当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？( 2)物体从正的最大位移处运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？1 1解⑴由题意，E k 3E p, E E k E p4E p 4 kx2kA2,得4x2p p p 2 2⑵由题意知,k / m , 2.0/0.5 2(1/s)，作旋转矢量图知：/3，最短时间为t / /6(s)5•有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为:3 1 …x! 0.05cos 10t n , x20.06cos 10t n (SI 制)4 4A2, x - A 0.1m(1)求它们合成振动的振幅和初相。

(2)另有一个振动x30.07 cos(10t 0)，问0为何值时, X1 X3的振幅最大；0为何值时，X2 X3的振幅最小。

解：⑴由图可知A ¥A2A 0.078m, 0 — tg 15848°4 6一3⑵X1 X3的振幅最大时0 10 —；45 3x2 X3的振幅最小时0 20 , 0,(或)4 4练习十四、选择题1•一个平面简谐波沿x轴负方向传播，波速u10m/s。

x 0处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI (B )(A) y 2co呻nx20—)；(B)y 2cos(n t2 2(C) yn2si%tnx20—)；(D y 2sin(-t2 2解：(B) 由图可知T4s, X 0处质点振动方程y。

n nX )20 22PT y『2A(0)x=0处质点在t=0 Acos T t2cos 2t ?波的表达式y|x|2cos — t 一t —2cos2 u 22cos — t2X _20 22•一个平面简谐波沿X轴正方向传播，波速为u 160m/s, t 0时刻的波形图如图所示，则该波的表达(A) 它的势能转化成动能; (B) 它的动能转化成势能;(C) 它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加; (D) 把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。

解：(C)质元的动能dE k v 2,势能dE P y/ x 2,质元由最大位移处回到平衡位置过程中 0到最大值.在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的(A) 动能为零，势能最大; (B) 动能为零，势能也为零;则此两点相距7.在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是(A)4 ; (B ) 2 ; (C ) 16;解：(B)波强]1 A 2 2u , 11 AL 4212 A ；式(SI 制)为 (A ) y 3cos(40 n n x ny 3cos(40n4x2);n(C ) y 3cos(40 n xn ;(D)冗y 3cos(40 n t x n) 2)。

解：(c ) 由图可知 8m , u160m/s ,u/ 20(1 /s),2 40 (1/s) t 2 A(0)0处质点振动方程为 y o A cos 400处质点位移为x =0处质点在t =0零且向 y 轴正向运动，作旋转矢量图知 02,y03cos 40波的表达式y 3cos 40 t x 160 2 3cos 40 t 3 . 一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在 程为 (A) y a cos[— (t t ) b —];(B) y acos[2 (C) y acos[ (t t) b 2]; (D) —xy a cos[ 解：(D) 由图可知 2b , v/ v/2b , 2 v/bt t 时x 0处质点位移为零且向 y 轴正向运动， cos 00, sin/24. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播, 媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中(C )动能最大，势能也最大; 解：(B)质元的动能dE k(D ) v 2,势能dE p6 •频率为100 Hz,传播速度为300 m/s的平面简谐波, 波线上距离小于波长的两点振动的相位差为 n /3 ,(A) m ; (B) m ; (C) m ;(D) m 。