第 23 讲
§8 剩余类环、同态与理想
(Residue class ring 、homomorphism and ideal)
一． 剩余类环
在前一讲中已知,当I 是环R 的理想时,仅加法而言知R I ,得到加法商群}|]{[R a I R ∈=,(在前一讲中,用记号I a a +=△][)其中群I R 中运算为][][][b a b a +=+其中每个元素a 都叫做I 的一个剩余类环且I b a b a ∈-⇔=][][. 今将说明商加群I R 中可以合理地引入一个乘法并使},,{⋅+I R 做成一环.这个乘法定义为
][][][ab b a =⋅ (或I ab I b I a +=++))(()
定义的合理性:设
][]['a a =且I a a b b ∈-⇔=''].[][且I b b ∈-',I b a a b a ab ∈-=-∴)('',且I b b a b a b a ∈-=-)(''''',()R I ][][''''b a ab I b a ab =⇒∈-⇒∴定义是合理的. 很容易验证},{⋅I R 是一个半群. 同时可以验证},{⋅I R 乘法对加法的左右分配律.故此, },{⋅I R 是一个环.
定义1.设R 为任意一个环.而 I R ,那么},{⋅I R 称作R 关于理想I 的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R 中每个元素叫作模I 的剩余类.
例 1.设Z R =为整数环,而使}|6{6Z n n Z I ∈∀==那么]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6==Z I
R ,就是我们已经熟悉的“模6剩余类环”—这是整数的剩余类环.
二.环同态及同态基本定理
定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象
}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.
定理1.设R R −→−
ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么 (ⅰ) I R (ⅱ)R I
R ≅ 证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.
.,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R
(ⅱ)由第二章知,存在R I R ≅Φ:.作为群同构,其中.][I
R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但
][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.
∴ R I R →Φ:是环同构.即R I R ≅Φ
. 定理2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.
证明:令I R R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ,
显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.
)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+
)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.
注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.
与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么
(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环
(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想
(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环
(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想
证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)
另外 ） （　S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ
∴)(S ϕ是R 的子环.
(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()
(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射
⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)
()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i ????)()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知
S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.
(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.
又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ. 注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.。