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高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析 考点一:求导公式。

例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。

考点二:导数的几何意义。

例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+,则(1)(1)f f '+= 。

例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。

考点三:导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C :x x x y 2323+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。

考点四:函数的单调性。

例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。

例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

(1)求a 、b 的值;(2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围。

点评:本题考查利用导数求函数的极值。

求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()()()a x x x f --=42。

求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。

解析:(1)()a x ax x x f 4423+--=,∴ ()423'2--=ax x x f 。

(2)()04231'=-+=-a f ,21=∴a 。

()()()14343'2+-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或34=x , 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-()291=-f ,275034-=⎪⎭⎫⎝⎛f 。

所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为275034-=⎪⎭⎫⎝⎛f ,最小值为()291=-f 。

答案:(1)()423'2--=ax x x f ;(2)最大值为275034-=⎪⎭⎫⎝⎛f ,最小值为()291=-f 。

点评:本题考查可导函数最值的求法。

求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。

考点七:导数的综合性问题。

例8. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。

(1)求a ,b ,c 的值;(2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

解析: (1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---∴0c =,∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-,∴12b =-,又直线670x y --=的斜率为16,因此,'(1)36f a b =+=-,∴2a =,12b =-,0c =.(2)3()212f x x x =-。

2'()6126(f x x x x =-=,列表如下:所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞,∵(1)10f -=,f =-,(3)18f =,∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =,最小值是f =-答案:(1)2a =,12b =-,0c =;(2)最大值是(3)18f =,最小值是f =- 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。

导数强化训练 (一) 选择题1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( A )A .1B .2C .3D .42. 曲线1323+-=x x y 在点(1,-1)处的切线方程为 ( B )A .43-=x yB .23+-=x yC .34+-=x yD .54-=x y3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( D ) A .1 B .2 C .3 D .44. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 ( A )A .)1(3)1()(2-+-=x x x fB .)1(2)(-=x x fC .2)1(2)(-=x x fD .1)(-=x x f5. 函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( D )(A )2 (B )3 (C )4 (D )56. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( D ) (A)(2,)+∞(B)(,2)-∞(C)(,0)-∞(D)(0,2)7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限,则函数()x f '的图象是( A )8. 函数231()23f x x x=-在区间[0,6]上的最大值是( A) A .323B .163C .12D .99. 函数x x y 33-=的极大值为m ,极小值为n ,则n m +为 ( A ) A .0B .1C .2D .410. 三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( A )A xDCxBA . 0>aB .0<aC .1=aD .31=a 11. 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( D ) A .3B .2C .1D .012. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A )A .1个B .2个C .3个D . 4个(二) 填空题13. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。

14. 已知曲线31433y x =+,则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________ 15. 已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导,若65()f x x x =+,对于任意x R ∈,都有()()n fx =0,则n 的最少值为 。

16. 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨.(三) 解答题17. 已知函数()c bx ax x x f +++=23,当1-=x 时,取得极大值7;当3=x 时,取得极小值.求这个极小值及c b a ,,的值.18. 已知函数.93)(23a x x x x f +++-= (1)求)(x f 的单调减区间;(2)若)(x f 在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.19. 设0≠t ,点P (t ,0)是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线。

(1)用t 表示c b a ,,;(2)若函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围。

20. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

(1)求b 、c 的值。

(2)求()g x 的单调区间与极值。

21. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?22. 已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-,,(13],内各有一个极值点. (1)求24a b -的最大值;(1) 当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式.强化训练答案:1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A 10.A 11.D 12.A(四) 填空题 13.3814. 044=+-x y 15. 7 16. 20 (五) 解答题17. 解:()b ax x x f ++=23'2。

据题意,-1,3是方程0232=++b ax x 的两个根,由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a ∴9,3-=-=b a∴()c x x x x f +--=9323∵()71=-f ,∴2=c极小值()25239333323-=+⨯-⨯-=f∴极小值为-25,9,3-=-=b a ,2=c 。

18. 解:(1).963)(2++-='x x x f 令0)(<'x f ,解得,31>-<x x 或所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞(2)因为,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=所以).2()2(->f f 因为在(-1,3)上0)(>'x f ,所以)(x f 在[-1,2]上单调递增,又由于)(x f 在[-2,-1]上单调递减,因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值.于是有2022=+a ,解得.2-=a故.293)(23-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f即函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值为-7.19. 解:(1)因为函数)(x f ,)(x g 的图象都过点(t ,0),所以0)(=t f ,即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即又因为)(x f ,)(x g 在点(t ,0)处有相同的切线,所以).()(t g t f '='而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以将2t a-=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=,t b =,.3t c -=(2)))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.当0))(3(<-+='t x t x y 时,函数)()(x g x f y -=单调递减. 由0<'y ,若t x t t <<->3,0则;若.3,0t x t t -<<<则 由题意,函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减,则).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或所以.39.333≥-≤≥-≥t t tt 或即或又当39<<-t时,函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减.所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞20. 解:(1)∵()32f x x bx cx =++,∴()232f x x bx c '=++。

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