解三角形中有关范围问题的一般方法
江苏省阜宁中学 顾乃春
解三角形是高中数学的重要内容，是继三角函数、三角恒等变换之后的内容，所以解三角形问题常常和前面的知识综合应用，特别是在考查两角和与差的三角公式这个重要的知识点时，三角形作为主要的载体，在高考试卷中以填空题或解答题形式出现，近年又多以解答题形式出现，其中涉及范围的求解问题出现的频率又较高，应引起重视。

求范围问题大体包括三角形中的角、角的三角函数值、边、面积的范围。

本文以求三角形的面积为例来说明解决这类问题的主要方法。

例：半径为R 的圆外接于ABC ∆，且
B b a
C A R sin )3()sin (sin 22
2-=-. ①求角C ； ②求ABC ∆面积的最大值； ①先利用正弦定理，再利用余弦定理易得6
π=∠C ；
②解法一：三角公式法
解： 6
π
πππ+
=-⇒-=+⇒=++A B B C A C B A
6sin
sin 2sin 221sin 21π
⋅⋅==∆B R A R C ab S ABC
)sin(sin 2B A R -=π)6
sin(sin 2A A R +=π
)cos 21sin 23(
sin 2A A A R += )cos sin 21
sin 23(22A A A R +=
]2sin 21
)2cos 1(23[212A A R +-=
]23)32[sin(212+-=
πA R
650π<
<A πππ34
323<-<-∴A
∴当232π
π=-A 即π12
5=A 时，ABC S ∆取最大值为4)32(2
+R
从解三角形的角度出发，把所有的角都用一个未知角来表示，利用已学的三角公式：两角
和与差正弦、余弦、正切公式，倍角公式来解决，包括公式的倒用、变用。

作为解决这类问题的通解通法，一般较易想到。

解法二：积化和差（或和差化积）法
解：A C A B -=
--=6
5π
π
B A R S ABC
sin sin 2
=∆)]cos()[cos(2
12B A B A R +--⋅=]23)[cos(212+-=B A R
∴当π125==B A 时，ABC S ∆取最大值为)32(4
12+R
或解：)
6
5sin(sin 2A A R S ABC -=∆π]65cos )652[cos(212ππ--=A R 650π<<A 6565265π
ππ<
-<-∴A
∴当125π=A 时，ABC S ∆取最大值为)32(4
12+R
此法也是三角公式法的一种，但此公式在教学中已经要求不高，所以把此法单独列出。

把
A-B 看作整体或者把B 用A 来表示。

从解法过程来看，虽然公式不要求掌握，但可以用两角和与差公式推导出，其实也是两角和与差公式的应用，如果掌握能更有效的解决相关问题。

解法三：导数法
解：)6
sin()sin()sin(sin π
π+
=+=-=A C A B B
)
6sin(sin sin sin sin 2122π+===∴A A R B A R C ab S
令)6
sin(sin )(2
π
+
=A A R A f
)]6
cos(sin )6sin([cos )(2ππ+
++
='A A A A R A f )
62sin(2π
+=A R 令0)(='A f 650π<<A 即 πππ611626<+<A π12
5=∴A ∴在)125,0(π上，)(A f 单调递增； 在)6
5,125(ππ上，)(A f 单调递减；
)
32(41
)125()(2max +==∴R f A f π
三角函数作为特殊的函数，由于在三角形中，所以角在一定的范围内，可以尝试利用导数
来解决有关范围问题，会达到意想不到的效果，思维过程更简洁明了，这也是解决三角函数最值问题的通解通法。

解法四：基本不等式法
解：c ab c b a cos 22
2
2
=-+
6cos
2222π
ab c b a =-+∴
2
2222)6sin 2(3R R c ab b a ===-+∴π
又
ab ab ab b a 3232
2-≥-+ 322-≤∴R ab 当b a =即
π125==B A 时，)32()(2
max +=R ab
ab C ab S ABC 41
sin 21==
∆
C
A H
B
D )32(41)(2
max +=
∴∆R S ABC
因为要求的范围中含有乘积的形式（或者和的形式），可以尝试利用基本不等式来解决范
围问题或者最值问题，这样会更快捷。

解法五：数形结合法
解：6
π
=
∠C 在⊙O 中取弧6
π=
ADB
如图，当点C 在弧ACB 上运动，
构成ABC ∆时，是满足条件的三角形。

过C 作AB CH ⊥，垂足为H
1
2ABC
S AB CH ∆∴=
线段AB 的长为定值，当CH 过圆心O 时，
CH 的长度最大。

此时CD 为AB 的垂直平分线，
则12
π
=
∠=∠BCH ACH
max 11()sin 22ABC S AB CH AC BC ACB ∆∴=
=∠
12cos 2cos 41212R R ππ=2221cos
(1cos )1226R R ππ==+21(24R =
运用数形结合的方法，来尝试处理作为基本几何图形的角的有关问题，可以充分利用几何性质，有时会达到巧妙的解题效果。

此法有一定的技巧性，虽然不易想到，但对我们以后处理类似问题带来全新的启示。

本文主要以求面积的范围为例，其实有关角、角的三角函数值、边等的范围或者最值问题，这些方法一样适用。

总之在解决解三角形有关范围问题时可以尝试利用1.两角和与差公式、倍角公式；2.积化和差或者和差化积公式；3.导数；4.基本不等式；5.几何性质。

掌握了这些基本的方法，解决这类较复杂、较综合的问题就会游刃有余。

读者可以试用选用以上介绍的方法去完成以下练习：
①在△ABC 中，若a ，b ，c 满足2b=a+c,求∠B 的取值范围. ②在△ABC 中，已知BC=10，周长为25，则cosA 的最小值. ③在△ABC 中，已知2B=A+C ，b=1，求a+c 的取值范围.
练习题答案及提示：
题1是求三角形中角的范围类问题
提示：利用法四——基本不等式法可得(0,]3
B π
∠∈ 题2是求三角形中角的三角函数值范围类问题 提示：利用方法四——基本不等式法可得min 1(cos )9
A =
题3是求三角形中边的范围类问题
提示：利用方法一——三角公式法；方法二——积化和差（或和差化积）法；方法五——导数法可得()(1,2]a b +∈ 1、解：∵2b=a+c
∴22222
222
(
)()2()22cos 222a c a c a c a c ac a c b
B ac
ac ac
+++-+--+-=
=
= 233()414411222
a c ac
ac ac +=-≥-=
又∵(0,)B π∈ ∴(0,
]3
B π
∠∈
2、解：设三角形三边分别为a ，b ，c
∵a=BC=10，a+b+c=25
∴15b c +=≥∴2
15(
)2
bc ≤ ∴2222222
()21510cos 1222b c a b c bc a A bc bc bc
+-+---=
==- 12511225924
≥
-=⨯ ∴min 1
(cos )9A =
3、解：∵2B=A+C ∴3
B π
∠=
又∵b=1
∴12sin sin sin sin 3
a c
b R A C b π===== ∴
2sin())3A A π+-其中2(0,)3
A π∈ 解法完全同文中例题，解略。