假设 uq ( x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上 所形成的场分布，uq?1(x, y) 表示光波经过q+1次 渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则
uq?1 与 uq 之间应满足如下的迭代关系：
M
?? uq?1(x, y) ?
ik
4?
e? ik?
uq ( x', y')
M'
?
?(1? cos? )ds'
6
积分方程解的物理意义
本征函数 umn和激光横模
本征函数umn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代 表镜面上光场的相位分布。 它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模， 通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。
图3-3 横模光斑示意图
用TEM mnq 来表示激光模式，TEM 代表横电磁波(transverse electro-
第三章 激光器的输出特性（1）
3.1 光学谐振腔的衍射理论 3.2 对称共焦腔内外的光场分布 3.3 高斯光束的传播特性
1
引言
前两章由发光的物理基础出发,讨论了激光产生的工作原理、在激光谐振 腔中受激辐射大于自发辐射而导致光的受激辐射放大的过程和条件； 为研究激光的输出特性（从激光谐振腔中传播到腔外的光束的强度与相 位的大小与分布）建立了基础。 激光器作为光源与普通光源的主要区别：激光器有一个谐振腔。 谐振腔作用：倍增激光增益介质的受激放大作用长度以形成光的高亮度； 提高了光源发光的方向性；由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在， 大大提高了输出激光的单色性，实现了高度的相干性，改变了输出激光 的光束结构及其传输特性。 本章从谐振腔的衍射理论开始研究激光输出的高斯光束传播特性，激光 器的输出功率以及激光器输出的线宽极限。
2?? ? 2q? q ? 1,2,3,?
? 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。
?? ? ? kL ? ? ? ?
2
3.1 光学谐振腔的衍射理论
3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波 的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场 是各子波干涉叠加的结果。
惠更斯－菲涅耳原理
设波阵面? 上任一源点 P'的光场复振幅为 u'(P') ，则空间任一观察点P的 光场复振幅u(P) 由下列积分式计算：
M'
?
(1? cos? )ds'?
?? ? u(x, y) ? ik u(x', y') e?ik? (1? cos? )ds'
4? M '
?
? 简化：对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都 远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长 ? 。对上式做两点近似可得 到自再现模所满足的积分方程：
magnetic wave) 的简写，m、n分别代表在截面的x、y轴方向出现的节线
数，为横模序数；q代表在z轴上出现的节线数，为纵模序数
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本征值? mn 和单程衍射损耗、单程相移
本征值 ? mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.
损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损?
耗，用 ? 表示。定义为
?
?
uq
2
? uq
uq? 1
2
2
? ?? ?
?
?
uq?1 ? ? uq
??
? mn ? 1? ? mn 2
本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
uq?1 ? ? uq ? arg uq?1 ? arg ? ? arg uq
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为
自再现模概念 ? 起因：由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还会
引起光波的衍射效应 ，引起反射回来的光束的强度减弱. ? 特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分
布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。 ? 特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改
变光的强度大小，而不改变光的强度分布。 ? 这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同
图3-2 镜面上场分布的计算示 意图
考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和 相位移动的常数因子以外，uq?1 应能够将 uq 再现出来，两者之间应有关系：
uq?1 ? ? uq
5
自再现模积分方程 (续)
? 综合上两式可得
ik
e? ik?Βιβλιοθήκη ?? ? uq (x, y) ?
4?
uq(x', y')
?? ? arg uq?1 ? arg uq ? arg?
自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几
何相移，它们的关系为
?? ? ? kL ? ? ? ?
?? ? arg?
? ? ? ?mn ? kL ? arg? mn ?
8
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
谐振条件、驻波和激光纵模 ? 光波在腔内往返一周的总相移应等于2? 的整数倍，即只有 某些特定频率的光才能满足谐振条件
样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横向场 分布，就是激光谐振腔的自再现模。
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自再现模积分方程
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 M 和 M上' 分别建立了坐 标轴两两相互平行的坐标 x ? y 和 x'? y'。利用上式由镜面 M上' 的光场分 布可以计算出镜面M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。
?? ? mnumn (x, y) ? K (x, y, x', y')uq (x', y')ds'
? 其中 K ( x, y, x', y') ? ik e ? ?ik? (x,y,x', y') i e?ik? (x,y,x', y') ，称为积分方程的核。
2? L
?L
? umn 和 ? mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征 值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。
?? u(P) ? ik u'(P?)e? ik? ?(1? cos? )ds'
4? ?
?
式中 ? 源点P'
为处源的点波面P'法与线观察n?与点PP'P之的间夹的角距；k离? ；2??/
?
为
为光波矢的大小?， 为光波长；ds' 的面元。
为源点P' 处
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
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3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程