频域位移对应时域的调制
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（4）序列的线性加权
若： DTFT[x(n)] X (e j )
则：
DTFT[nx(n)]
j[
d
d
X (e j )]
时域的线性加权对应频域微分
（5）序列的反褶 若： DTFT[x(n)] X (e j )
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系

X (z) x(n)z n n X (e jT ) X (z) ze jT x(n)e jnT n
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
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（2）序列的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[x(n n0 )] e jn0 X (e j )
时域位移对应频域相移
（3）频域的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[e jn0 x(n)] X (e j( 0 ) )
(7)时域卷积定理 若： DTFT[x(n)] X (e j )
DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[x(n) * h(n)] X (e j )H (e j )
(8)频域卷积定理 若： X (e j ) DTFT[x(n)]
H (e j ) DTFT[h(n)]
§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义

X
(e
jT
)


x(n)e jnT

n

x(n)

1
2

T

X (e jT )e jnT d
T

T
式中，T为抽样间隔，为数字角频率。
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则： DTFT [ x ( n )] X ( e j )
时域的反褶对应频域反褶
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(6)奇偶虚实性： Re[X(ej)]Re[X(ej)] ImX[ (ej)]ImX[ (ej)]
X (e j ) X (e j )
为了研究离散线性移不变系统对输入频谱的处理作用 ，有必要研究离散线性移不变系统对复指数或正弦序 列的稳态响应，
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设输入序列是频率为的复指数序列，即
x(n)= ejTn 单位函数响应为h(n)
则离散系统的零状态响应为：
( ) ( )
X (e j ) X * (e j )
复函数 X (e j ) 的实部为偶函数，虚部为奇函数， 模为偶函数，幅角为奇函数。
X (e j ) 与 X (e j ) 共轭
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因为h(n)是实序列，故H(ejT)满足共轭对称条件，即
H(ejT)= H*(e-jT)
也就是H(ejT)的幅度为偶对称，
H(ejT)= H(e-jT)
相角为奇对称
arg[H(ejT)] =-arg[H(e-jT)]
因为ejT 是周期函数，所以H(ejT)是周期函数，周 期为2/T。

yzs (n) h(n) * x(n) h(k )e jT (nk ) k
e jTn h(k )e jTk e jTn H (e jT ) k 信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

其中， H (e j T )
（1）线性：
若： 则：
DTFT[x1 (n)] X1 (e j ) DTFT[x2 (n)] X 2 (e j )
DTFT[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (e j ) bX 2 (e j )
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3.逆变换
x(n)

1
2j
X (z)z n1dz
z 1
1 2j
X (e j )e jn e j d (e j )
z 1
1 2
X (e j )e jn d

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DTFT的基本性质
序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换
DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
n
DTFT[x(n)] X (e j ) x(n)e jn
n
IDTFT[ X (e
j
)]

x(n)

1
2

X (e
j
)e
jn d
DTFT的基本性质：
则：
1
2
[
X(e
j
)*H(e
j
)]

1
2
X(ej )H[ej()]d

DTFT[x(n)h(n)]
时域相乘对应频域卷积。
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8.10离散系统的频率响应特性
1.单位圆上（z=ejT）的系统函数就是离散系统的频 率特性 2.离散系统的频率响应的意义
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h ( n )e j Tn
n
H(ejT)是h(n)的傅立叶变换，被称为系统的频率响
应。它描述了复指数序列通过线性移不变系统后，
复振幅（包括幅度和相位）的变化。
H(ejT)的性质： h(n)绝对可和，则系统稳定，同时也意味着系统的 频率特性H(ejT)存在且连续。
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