2017年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4<0},则∁R A=()A.{x|x≤﹣2或x≥2}B.{x|x<﹣2或x>2}C.{x|﹣2<x<2}D.{x|﹣2≤x≤2}2.(5分)下列函数中为奇函数的是()A.y=x+cosx B.y=x+sinx C.D.y=e﹣|x|3.(5分)若x,y满足,则x+2y的最大值为()A.﹣1 B.0 C.D.24.(5分)设,是非零向量,则“,共线”是“|+|=||+||”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知等比数列{a n}为递增数列,S n是其前n项和.若a1+a5=,a2a4=4,则S6=()A.B.C.D.6.(5分)我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的n=5,v=1,x=2,则程序框图计算的是()A.25+24+23+22+2+1 B.25+24+23+22+2+5C.26+25+24+23+22+2+1 D.24+23+22+2+17.(5分)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是()A. B.C. D.8.(5分)据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a1,a2,a3,…,a n,和b1,b2,b3,…,b n,令M={m|a m<b m,m=1,2,…,n},若M中元素个数大于n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作:A B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是()A.若A B,B C,则A CB.若A B,B C同时不成立,则A C不成立C.A B,B A可同时不成立D.A B,B A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)复数i(2﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为.10.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ(a>0)相切,则a=.11.(5分)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有种.(用数字作答)12.(5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=,则BD=;三角形ABD的面积为.13.(5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|=.14.(5分)已知函数①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是.②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=sin2x+a•cos2x(a∈R).(Ⅰ)若f()=2,求a的值;(Ⅱ)若f(x)在[,]上单调递减,求f(x)的最大值.16.(13分)小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园.根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤)情况如图所示.小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天.(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?(结论不要求证明)17.(14分)如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点.(Ⅰ)求证:FM∥平面BDE;(Ⅱ)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE?若存在,求的值;若不存在,说明理由.18.(13分)设函数f(x)=(x2+ax﹣a)•e﹣x(a∈R).(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线方程;(Ⅱ)设g(x)=x2﹣x﹣1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E.证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.20.(13分)对于n维向量A=(a1,a2,…,a n),若对任意i∈{1,2,…,n}均有a i=0或a i=1,则称A为n维T向量.对于两个n维T向量A,B,定义d(A,B)=.(Ⅰ)若A=(1,0,1,0,1),B=(0,1,1,1,0),求d(A,B)的值.(Ⅱ)现有一个5维T向量序列:A1,A2,A3,…,若A1=(1,1,1,1,1)且满足:d(A i,A i)=2,i∈N*.求证:该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,+10).(Ⅲ)现有一个12维T向量序列:A1,A2,A3,…,若且满足:d(A i,A i)=m,m∈N*,i=1,2,3,…,若存在正整数j使得,+1A j为12维T向量序列中的项,求出所有的m.2017年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4<0},则∁R A=()A.{x|x≤﹣2或x≥2}B.{x|x<﹣2或x>2}C.{x|﹣2<x<2}D.{x|﹣2≤x≤2}【解答】解:集合A={x|x2﹣4<0}={x|﹣2<x<2},则∁R A={x|x≤﹣2或x≥2}.故选:A.2.(5分)下列函数中为奇函数的是()A.y=x+cosx B.y=x+sinx C.D.y=e﹣|x|【解答】解:对于A非奇非偶函数,不正确;对于B,计算,正确,对于C,非奇非偶函数,不正确;对于D,偶函数,不正确,故选:B.3.(5分)若x,y满足,则x+2y的最大值为()A.﹣1 B.0 C.D.2【解答】解:作出x,y满足表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由,解得A(﹣,),设z=F(x,y)=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z=F(,)=.最大值故选:C.4.(5分)设,是非零向量,则“,共线”是“|+|=||+||”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:“|+|=||+||”⇒“,共线”,反之不成立,例如.∴,是非零向量,则“,共线”是“|+|=||+||”的必要不充分条件.故选:B.5.(5分)已知等比数列{a n}为递增数列,S n是其前n项和.若a1+a5=,a2a4=4,则S6=()A.B.C.D.【解答】解:设递增的等比数列{a n}的公比为q,∵a1+a5=,a2a4=4=a1a5,解得a1=,a5=8.解得q=2,则S6==.故选:D.6.(5分)我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的n=5,v=1,x=2,则程序框图计算的是()A.25+24+23+22+2+1 B.25+24+23+22+2+5C.26+25+24+23+22+2+1 D.24+23+22+2+1【解答】解:模拟程序的运行,可得n=5,v=1,x=2,i=4满足条件i≥0,执行循环体,v=3,i=3满足条件i≥0,执行循环体,v=7,i=2满足条件i≥0,执行循环体,v=15,i=1满足条件i≥0,执行循环体,v=31,i=0满足条件i≥0,执行循环体,v=63,i=﹣1不满足条件i≥0,退出循环,输出v的值为63.由于25+24+23+22+2+1=63.故选:A.7.(5分)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是()A. B.C. D.【解答】解:由题意可知:对于A、B,当P位于A,B图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线,由此即可排除A、B,对于D,其图象变化不会是对称的,由此排除D,故选C.8.(5分)据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a1,a2,a3,…,a n,和b1,b2,b3,…,b n,令M={m|a m<b m,m=1,2,…,n},若M中元素个数大于n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作:A B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是()A.若A B,B C,则A CB.若A B,B C同时不成立,则A C不成立C.A B,B A可同时不成立D.A B,B A可同时成立【解答】解:若a i=b i,i=1,2,…n,则A B,B A同时不成立,故选C.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)复数i(2﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为(1,2).【解答】解:复数i(2﹣i)=2i+1在复平面内所对应的点的坐标为(1,2).故答案为:(1,2).10.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ(a>0)相切,则a=1.【解答】解:直线ρcosθ+ρsinθ+1=0化为直角坐标方程:x+y+1=0.圆ρ=2acosθ(a>0)即ρ2=2ρacosθ(a>0),可得直角坐标方程:x2+y2=2ax,配方为:(x﹣a)2+y2=a2.可得圆心(a,0),半径a.∵直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ(a>0)相切,∴=a,a>0,解得a=1.故答案为:1.11.(5分)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有14种.(用数字作答)【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:①、选择1门B类课程,需要选择A类课程3门,则B类课程有C21=2种选法,A类课程有C43=4种选法,此时有2×4=8种选择方法;②、选择2门B类课程,需要选择A类课程2门,则B类课程有C22=1种选法,A类课程有C42=6种选法,此时有1×6=6种选择方法;则一共有8+6=14种不同的选法;故答案为:14.12.(5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=,则BD=2;三角形ABD的面积为﹣1.【解答】解:△CBD中,由余弦定理,可得,BD==2,△ABD中,利用正弦定理,可得AD==2﹣2,∴三角形ABD的面积为(2﹣2)×=﹣1,故答案为2,﹣1.13.(5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|=.【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)∵直线l过F,倾斜角为60°,即斜率k=tanα=,∴直线l的方程为:y=(x﹣1),即x=y+1,,解得:,,由点A在x轴上方,则A(3,2),则|OA|==,则丨OA丨=,故答案为:.14.(5分)已知函数①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是(1,+∞).②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是(﹣4,﹣2)∪(2,4).【解答】解:①f(x)=,作出f(x)的函数图象如图所示:由图象可知当a>1时,f(x)=a只有1解.②∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点,∴2<|T|<4,即﹣4<T<﹣2或2<T<4.故答案为:①(1,+∞),②(﹣4,﹣2)∪(2,4).三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=sin2x+a•cos2x(a∈R).(Ⅰ)若f()=2,求a的值;(Ⅱ)若f(x)在[,]上单调递减,求f(x)的最大值.【解答】解:(Ⅰ)因为,∵.故得:a=1.(Ⅱ)由题意:f(x)=,其中tan,∴函数的周期T=π,且,所以当x=时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f()═=,∴sin()=1,∴,k∈Z.∴tanθ==,∴a=3.故得.因此f(x)的最大值为.16.(13分)小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园.根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤)情况如图所示.小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天.(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?(结论不要求证明)【解答】解:设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2,…,9).根据题意,,且事件A i与A j互斥.…(1分)(Ⅰ)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则B=A4∪A7.…(2分)所以.…(5分)(Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,…(6分),…(7分),…(8分).…(9分)所以X的分布列为…(10分)故X的期望.…(11分)(Ⅲ)从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.…(13分)17.(14分)如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点.(Ⅰ)求证:FM∥平面BDE;(Ⅱ)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【解答】(共14分)证明:(Ⅰ)取CD 中点N,连结MN、FN.因为N,M分别为CD,BC中点,所以MN∥BD.又BD⊂平面BDE,且MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE,因为EF∥AB,AB=2EF,所以EF∥CD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FN∥ED.又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE,所以FN∥平面BDE,…(2分)又FN∩MN=N,所以平面MFN∥平面BDE.…(3分)又FM⊂平面MFN,所以FM∥平面BDE.…(4分)解:(Ⅱ)取AD中点O,连结EO,BO.因为EA=ED,所以EO⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,EO⊥BO.因为AD=AB,∠DAB=60°,所以△ADB为等边三角形.因为O为AD中点,所以AD⊥BO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB=4,以O为原点,OA,OB,OE为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系O﹣xyz.…(6分)由题意得,A(2,0,0),,,D(﹣2,0,0),,.…(7分),,.设平面BDE的法向量为=(x,y,z),则,即,令z=1,则y=1,.所以.…(9分)设直线CF与平面BDE成角为α,,所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为.…(10分)(Ⅲ)设G是CF上一点,且,λ∈[0,1].…(11分)因此点.…(12分).由,解得.所以在棱CF上存在点G使得BG⊥DE,此时.…(14分)18.(13分)设函数f(x)=(x2+ax﹣a)•e﹣x(a∈R).(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线方程;(Ⅱ)设g(x)=x2﹣x﹣1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围.【解答】(共13分)解:(Ⅰ)当a=0时,∵f(x)=x2e﹣x,∴f′(x)=(﹣x2+2x)e﹣x,…(1分),∴f′(﹣1)﹣3e.…(2分)又∵f(﹣1)=e,…(3分)∴曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为:y﹣e=﹣3e(x+1),即3ex+y+2e=0.…(4分)(Ⅱ)“对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立”,等价于“在区间[0,2]上,f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值”.…(5分)∵,∴g(x)在[0,2]上的最大值为g(2)=1.f'(x)=(2x+a)•e﹣x﹣(x2+ax﹣a)•e﹣x=﹣e x[x2+(a﹣2)x﹣2a]=e﹣x(x﹣2)(x+a),令f′(x)=0,得x=2,或x=﹣a.…(7分)①当﹣a<0,即a>0时,f′(x)>0在[0,2]上恒成立,f(x)在[0,2]上为单调递增函数,f(x)的最大值为f(2)=(4+a)•,由(4+a)•≥1,得a≤e2﹣4.…(9分)②当0<﹣a<2,即﹣2<a<0时,当x∈(0,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)为单调递减函数,当x∈(﹣a,¬2)时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数.∴f(x)的最大值为f(0)=﹣a或f(2)=(4+a),由﹣a≥1,得a≤﹣1;由(4+a)≥1,得a≤e2﹣4.又∵﹣2<a<0,∴﹣2<a=1.…(11分)③当﹣a>2,即a<﹣2时,f′(x)<0在[0,2]上恒成立,f(x)在[0,2]上为单调递减函数,f(x)的最大值为f(0)=﹣a,由﹣a≥1,得a≤﹣1,又因为a<﹣2,所以a<﹣2.综上所述,实数a的值范围是{x|a≤﹣1或a≥e2﹣4}.…(13分)19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E.证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.【解答】解:(Ⅰ)由题意得2b=2,则b=,c=1,则a2=b2+c2=4,则a=2,∴椭圆C的方程为;(Ⅱ)证明:“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”.设直线AM的方程为y=k(x+2)(k≠0),则N(2,4k),E(2,2k).…(7分)设点M(x0,y0),由,整理得(4k2+3)x2+16k2x+16k2﹣12=0,由韦达定理可知﹣2x0=,则x0=,y0=k(x0+2)=,①当MF⊥x轴时,x0=1,此时k=±.则M(1,±),N(2,±2),E(2,±1).此时,点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1,即EF平分∠MFB.…(10分)②当k≠时,直线MF的斜率为k MF==,所以直线MF的方程为4kx+(4k2﹣1)y﹣4k=0.…(11分)所以点E到直线MF的距离===|2k|=|BE|.即点B关于直线EF的对称点在直线MF上,综上可知:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.…(14分)20.(13分)对于n维向量A=(a1,a2,…,a n),若对任意i∈{1,2,…,n}均有a i=0或a i=1,则称A为n维T向量.对于两个n维T向量A,B,定义d(A,B)=.(Ⅰ)若A=(1,0,1,0,1),B=(0,1,1,1,0),求d(A,B)的值.(Ⅱ)现有一个5维T向量序列:A1,A2,A3,…,若A1=(1,1,1,1,1)且)=2,i∈N*.求证:该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,满足:d(A i,A i+10).(Ⅲ)现有一个12维T向量序列:A1,A2,A3,…,若且满)=m,m∈N*,i=1,2,3,…,若存在正整数j使得,足:d(A i,A i+1A j为12维T向量序列中的项,求出所有的m.【解答】解:(Ⅰ)由于A=(1,0,1,0,1),B=(0,1,1,1,0),由定义,可得d(A,B)=4.…(4分)(Ⅱ)反证法:若结论不成立,即存在一个含5维T向量序列,A1,A2,A3,…A n,使得A1=(1,1,1,1,1),A m=(0,0,0,0,0).因为向量A1=(1,1,1,1,1)的每一个分量变为0,都需要奇数次变化,不妨设A1的第i(i=1,2,3,4,5)个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0,所以将A1中所有分量1变为0共需要(2n1﹣1)+(2n2﹣1)+(2n3﹣1)+(2n4﹣1)+(2n5﹣1)=2(n1+n2+n3+n4+n5﹣2)﹣1次,此数为奇数.又因为,说明A i中的分量有2个数值发生改变,进而变化到A i,所以共需要改变数值2(m﹣1)次,此数为偶数,所以矛盾.+1所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).…(9分)(Ⅲ)存在正整数j使得,A j为12维T向量序列中的项,此时m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.…(13分)。